实变函数 第六章函数空间L简介 第一节Lp-空间简介 本讲目的:掌握函数空间D定义及其重 要意义, 重点与难点: Newton-Leibniz公式的证 明
第六章 函数空间L p简介 本讲目的：掌握函数空间Lp的定义及其重 要意义， 重点与难点： Newton-Leibniz公式的证 明。 第一节 Lp-空间简介
第一节Lp空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程 时,常常会碰到这样的问题:尽管任意有限次 迭代函数都是很好的函数(可微或连续函数), 但当施行极限手续以求出准确解时却发现,迭 代序列的极限不在原来所限定的范围内,这促 使人们将函数的范围拓宽,空间理论正是在此 基础上产生的。1907年,F. Riesz与 Frechet 首先定义了0,1上的平方可积函数空间,即 I(O1)△{f|丿是 Lebesgue可测函教,且|∫可积}
第一节 Lp-空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程 时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次 迭代函数都是很好的函数（可微或连续函数）， 但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭 代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促 使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此 基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet 首先定义了[0，1]上的平方可积函数空间，即 ([0,1]) { | , | | } L p f f是Lebesgue可测函数 且 f 2 可积
第一节Lp空间简 随后,人们又进一步考察p-方可积函数,得 到空间LP,考虑这些空间的一个基本思想是 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看,而 是作为某一类集合中的一个元素,将这个函数 集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所 研究的 Lebesgue可测函数是一棵棵的树木,现 在则要将这些树木放在起构成一片森林
第一节 Lp-空间简介 随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得 到空间 ,考虑这些空间的一个基本思想是， 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而 是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数 集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所 研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现 在则要将这些树木放在起构成一片森林。 p L
第一节Lp-空间简介 DP一空间的定义 我们知道,R中有线性运算,有距离公式,对于 两个函数,可以定义它们的线性运算,但它们之间所 谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先,所定义 的距离必须有意义,例如,对f([a,b)中的两个函 数f,g,可以用mx(x)-g(x)定义它们的距离,但 如果用它来定义一般 Lebesgue可测函数间的距离显 然是不合适的。其次,所定义的距离,必须满足距离 的一些最基本的性质。这些性质是什么呢?我们可以 通过P中的距离归纳出来,即下面的
第一节 Lp-空间简介 p L C([a,b]) 一. —空间的定义 f , g max | f (x) g(x)| a x b − n R 我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于 两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所 谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义 的距离必须有意义，例如，对于 中的两个函 数 ，可以用 定义它们的距离，但 如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显 然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离 的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以 通过 中的距离归纳出来，即下面的
第 LP空间简介 定义1设A是一个集合p是A×A到R的函数。满足: (i)对任意f,g∈A,p(f,g)≥0并且m,g)=0 当且仅当f=g(非负性) i)对任意f,g∈A,(,g)=p(,8对称性) i)对时意f,g,h∈A,p(f,g)≤p(f,h)+p(h,g) (三角不等式)。则称是A上的距离 设1sp<∞,E∈L,记D(E)=ff 是E上的可测函数且()d<
第一节 L p -空间简介 定义1 设 A 是一个集合。 是A A到R 1 的函数。满足： （i）对任意 ( ) , , ( , ) 0 ( , ) 0 当且仅当 非负性 并且 f g f g A f g f g = = （ii）对任意 f , g A, ( f , g) = ( f , g)(对称性) （iii）对任意 f , g,h A, ( f , g) ( f ,h) + (h, g) （三角不等式）。则称是A上的距离 是E上的Lebesgue可测函数， p E L L E f f p n 设 1 , ,记 ( ) ={ | 且 E p | f (x)| dx }