《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 积分理论（5.2）Lesbesgue积分的极限定理

实变函数 第五章积分论 第二节 Lesbesgue积分的极限定理

第二节 Lesbesgue积分的极限定理 第五章 积分论

1Leⅵ逐项积分定理 若f(x)为E上非负可测函数列, f1(x)≤f2(x)≤f(x)≤…≤f2(x)≤…,且imfn(x)=f(x) n→)00 U lim f(x)dx= lim f,(xdx n→∞JE En→∞ X 说明:小于等于显然成立, fn(x) 因为(x)总在fx)的下方, f(x) 只要证明大于等于,但一般而 言fx)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把fx)下移一点 注意:当f(x)致收敛x)时 f1(x)才会整体跑到f(x)上方

1.Levi逐项积分定理   → → = E n E n n n 则lim f (x)dx lim f (x)dx 只要证明大于等于，但一般而 言fn (x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x) cf(x) fn (x) 注意：当fn (x)一致收敛f(x)时， fn (x)才会整体跑到f(x)上方。 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) 1 2 3 f x f x f x f x f x f x n n     n  = →   且 若fn (x)为E上非负可测函数列， 说明：小于等于显然成立， 因为fn (x)总在f(x)的下方

逐项积分定理的证明 证明:由条件知f(x)为E上非负可测函数递增列, 所以m(x)减有定义,又f(x)k≤fn(x)x,n=12,3, E E 故mn∫fC)2有定义,且从函数列的渐升性知道 n→DEh( dt≤|f(x)dr lim f (x)dx En→∞ 下证大于等于号 引理1:设En}是递增集列,E=∪En0(x)是R上的非负可测简单 函数,则 lim(x)dx=Lp(x)dx n→)0 引理2:设x)是E上的非负可测函数,A是E中可测子集,则 L, f()ax=ef(x)xa(x)ar

Levi逐项积分定理的证明   = n→ E E x dx x dx n lim ( ) ( ) 引理1：设{En}是递增集列， 是Rn上的非负可测简单 函数，则 , ( ) 1 E E x n n   = =  f x dx f x dx f x dx n E E n n n E lim ( ) ( ) lim ( ) → →     = 引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则   = E A A f (x)dx f (x) (x)dx 证明：由条件知fn (x)为E上非负可测函数递增列，  f (x)dx   f +1 (x)dx,n =1,2,3, E n E 有定义，又 n f x dx n E n lim ( )  → 所以  → E n n 故lim f (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道 下证大于等于号

eⅵ逐项积分定理的证明 f(x)x=sup{,oxt:以(x)为E上的简单函数0≤o(x)≤f(x) E E 证明:令c满足0<c<1,如(x是R上的非负可测 简单函数,且(x)≤f(x) 已En={x∈E|f(x)≥cp(x)} X 则{En}是递增集列, cop(x) 且lmEn=∪En=E n→0O 由引理1知 mcL. o(x)dx=cL o(x)dx n→>∞JE E op(x)

Levi逐项积分定理的证明 E {x E | f (x) c (x)} 记 n =  n   ( ) sup{ ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E f x dx x dx x E x f x =        为 上的简单函数， (x)  f (x) 证明：令c满足0<c<1， (x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 E En E n n n =  =  → =1 且lim 则{En}是递增集列，   = n→ E E c x dx c x dx n lim ( ) ( ) 由引理1知 cφ(x) f(x) fn (x) φ(x)

Lev逐项积分定理的证明 En={x∈E|f2(x)≥c(x)} 于是从(应用引理2) X fn(x)dx>.fn(x)xe(x)dx E E fn( L.f()=20)=(xk 得到im「f,(x)x≥c(x)hx n->oo JE E 令c→1则有m[f(x≥[(x) n→>JE 再由的积分定义知m(x)2(x)b 所以Imn[f(x)=f(xh n→00 E E

Levi逐项积分定理的证明    → E E n n 得到lim f (x)dx c (x)dx c f x dx x dx E E n n   →  → 令 1,则有lim ( ) ( ) f x dx f x dx E E n n   = → 所以lim ( ) ( ) E {x E | f (x) c (x)} n =  n   f x dx f x dx E n n E lim ( ) ( )    再由的积分定义知 → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )      =  =  n n n n E E E n E n E E n f x dx c x dx c x dx f x dx f x x dx    于是从（应用引理2） f(x) φ(x) cφ(x) fn (x)