实变函数 第五章积分论 第三节 Lesbesgue积分与 Riemann积分的关系
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 第五章 积分论
Riemann积分对定义域作分划 (Rfx)k=hm∑/()x Lesbesgue积分对 划 yi ()「(x)=m5mE i=1 本节主要内容 若〔x) Riemann可积,则x)在[ab]上 Lebesgue可积,且积分值相等 ●f(x)Remn可积当且仅当(x)的不连续点全体为零测度集
yi yi-1 i n i i a b L f x dx mE = → = 1 [ , ] 0 ( ) ( ) lim Lesbesgue积分 对值域作分划 xi-1 xi i n i i T b a R f x dx = f x = → 1 || || 0 ( ) ( ) lim ( ) Riemann积分 对定义域作分划 本节主要内容: ⚫若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等 ⚫f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
Riemann可积的充要条件 f(x)在[a,b上 Riemann可积 今f(x)x= lim>MAr|=lim∑mAx1=f(x)dx T|>0 T|→>0 VE>03分割T,使得∑aAx≤ 11=Sup{f(x):x1≤x≤x} 1=nf{f(x):x1≤x≤x}
Riemann可积的充要条件 i i i i i i i i i M m m f x x x x M f x x x x = − = = − − inf{ ( ): } sup{ ( ): } 1 1 0 1 = i n i i T x 1 0, 分割 ，使得 i n i i T b a f x dx = M x = → 1 || || 0 ( ) lim m x f x dx b a i n i i T lim ( ) 1 || || 0 = = = → f(x)在[a,b]上Riemann可积
Darboux上、下积分 对[ab]作分划序列 m):a=x(0)<x()<x2)k<…<x(=bn=123 70=max{x2)-x():1≤i≤kn}hm7m=0 n→>0o 令(对每个i及n) sup{f(x):x-m≤x≤ m=if(f(x):x/≤x≤x{"} DQk上积分f(x)=m∑M(x-x() →O Darboux下积分mb f(x=imn∑m0(x0-x n→ i=1
Darboux上、下积分 对[a,b]作分划序列 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, | | max{ : 1 } lim | | 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = − = → − n n n n i n i n T x x i k T inf{ ( ): } sup{ ( ): } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) n i n i n i n i n i n i m f x x x x M f x x x x = = − − 令（对每个i及n） Darboux上积分 ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx M x x n − = → = − ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) n i n i k i n i n b a f x dx m x x n − = → = − Darboux下积分 xi-1 xi
引理:设f(x)在[ab]上为有界函数,记(x)为[a,b] 上的振幅函数,则 Jab o(x)dr= f(dx-rb f(x)dx 证明:由于(x)在ab]上为有界函数, 故0(x)为a,b]上有界函数, 又对任意实数tx∈E:(x)≥}为闭集, 故o(x)为ab]上的可测函数,从而x)L可积
引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b] 上的振幅函数，则 x dx f x dx f x dx b a b a b a ( ) ( ) ( ) [ , ] = − 故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数， 故ω(x)为[a,b]上有界函数， 又对任意实数 {x E :(x) t} t， 为闭集， xi-1 xi