实变函数 第四节微分与不定积分 4.5绝对连续函数 本讲目的:掌握绝对连续函数的定义, 熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌 握 Newton- Leibniz公式成立的充要条件。 重点与难点: Newton-Leibniz公式的 证明
4.5 绝对连续函数 本讲目的：掌握绝对连续函数的定义，， 熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌 握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。 重点与难点： Newton-Leibniz公式的 证明。 第四节 微分与不定积分
第五节绝对连续函数 绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来: 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立?
第五节 绝对连续函数 一.绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来： 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
第五节绝对连续函数 从单调函数的例子及上面的讨论不难看到, 有界变差函数的导数虽然可积,但也未必能使 牛顿一莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强, 这正是下面要引入的 定义8设f是a,b]上的函数,若对任意E>0 存在,δ>0使得对于[a,b]中的任意一组分点: a1<b,<a<b<.<a.<b 只要∑(-a)<6,便有 ∑|f(b)-f(a1)kE, 则称f是[a,b]上的绝对连续函数,或称f在[a,b] 上绝对连续
第五节 绝对连续函数 从单调函数的例子及上面的讨论不难看到， 有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使 牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强， 这正是下面要引入的 定义8 设f是[a,b]上的函数，若对任意 ， 存在， 使得对于[a,b]中的任意一组分点： ， 只要 ，便有 ， 则称f是[a,b]上的绝对连续函数，或称f在[a,b] 上绝对连续。 0 0 a b a b an bn ... 1 1 2 2 = − n i i i b a 1 ( ) = − n i i i f b f a 1 | ( ) ( ) |
第五节绝对连续函数 二牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知,[ab]上的绝对连续函数一定是一致连 续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢? 假设∫是ab上的绝对连续函数,于是对任意g>0 存在O>0使得只要∑(b-a)<6 就有∑f(b)-f(a)|<E 取正整数N,使得 将分成N等分,设分点为a=1<n1<…<yN=b
第五节 绝对连续函数 二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连 续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？ 假设 是[a,b]上的绝对连续函数，于是对任意 ， 存在 ，使得只要 ， 就有 ， 取正整数N，使得 ， 将分成N等分，设分点为 f 0 0 = − n i i i b a 1 ( ) − = n i i i f b f a 1 | ( ) ( )| − N b a a = y0 y1 yN = b
第五节绝对连续函数 对ab]的任一分划△:a=x<x不…<=b将(}N添 加进去,得新的分划△a=x0<<…m=b(m≤n+N),于是 V(△,)≤K(△,f)=∑|()f(x)∑∑|f(x)-f(1)NE 因此,V(0)≤NE<+。这就是说连续函数一定是 有界变差函数。下面的定理指出:对绝对连续函数, 牛顿一莱布尼兹公式是成立的
第五节 绝对连续函数 对[a,b]的任一分划 添 加进去，得新的分划 ，于是 0 0 1 : , { } = = = k a x x xn b 将 yk N ( ) ~ ~ ~ : ~ a = x0 x1 xm = b m n + N V f V f f x f x f x f x N i i y x x y m j i i m i j i i i = − = − − = − = − − )| ~ ) ( ~ )| | ( ~ ) ( ~ , ) | ( ~ ( , ) ( 1 ~ ~ 1 1 1 1 1 因此， 。这就是说,连续函数一定是 有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数， 牛顿—莱布尼兹公式是成立的。 V f N + b a ( )