实变函数 第五章积分理论 第一节 Lesbesgue积分的定义及性质
第一节 Lesbesgue积分的定义及性质 第五章 积分理论
1.积分的定义 (1)非负简单函数的积分 设风2x(是E=E(E可测且两两不交) 上非负简单函数,定(D)呗(xM=EcmE 为9(x)在E上的 Lebesgue积分 例:对 Dirichlet函数 D(r) x[0,1Q (0x∈[0,1]-Q ADJ O)(x)=1.0+01=0
1.积分的定义 i n i i E L x dx c mE = = 1 ( ) ( ) (x) i n i E E =1 ( ) ( ) = 1 x c x Ei n i i = 设 = 是 ( Ei可测且两两不交） 上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分 ( ) ( ) =10+01= 0 L D x dx E 有 x Q x Q D x = − 1 [0,1] 0 [0,1] ( ) 例：对Dirichlet函数 0 1 ⑴非负简单函数的积分
(2)非负可测函数的积分 设x)为E上非负可测函数,定义 ()/(xk=9甲(J0(xkx(x)为E上的简单函数 0≤(x)≤f(x)} 为fx)在E上的 Lebesgue积分 若x)是E上的可测函数则x)总可表示成一列 简单函数{(x的极限f(x)=in(x),而且还 n→0 可办到(x)图(x
⑵非负可测函数的积分 ( ) ( ) sup{( ) ( ) : ( ) 0 ( ) ( )} E E L f x dx L x dx x E x f x = 为 上的简单函数 ， 为f(x)在E上的Lebesgue积分 设f(x)为E上非负可测函数，定义 |1 (x)||2 (x)| f (x) lim (x) n n → {n (x)} = 若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列 简单函数 的极限 ，而且还 可办到
(3)一般可测函数的积分 设fx)为E上的可测函数,定义 D(x=(D(O/( 要求/(MD/(不同时为十) 为x)在E上的 Lebesgue积分(有积分) 注:当()(有限时,称x)在E上L可 积分的几何意义:(D)f(xx=mG(E, G(E;∫)={(x,y):x∈E,0≤y<f(x)}
⑶一般可测函数的积分 积分的几何意义： (L) f (x)dx mG(E; f ) E = G(E; f ) ={( x, y): x E,0 y f (x)} L f x dx E 注：当 ( ) ( ) 有限时，称f(x)在E上 L可积 （要求 (L) E f + (x)dx, (L) E f − (x)dx 不同时为 + ） 为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） L f x dx L f x dx L f x dx E E E + − ( ) ( ) = ( ) ( ) −( ) ( ) 设f(x)为E上的可测函数，定义
2积分的性质 (1)零集上的任何函数的积分为0 (2)f(x)可积当且仅当(x)可积((x)是可测函数) 且f(x)zxf(x)kx f(x)=f+(x)-f(x) E 1f(x)|=f+(x)+f(x) )调性若(8)则/8( (4)线形((x)+g(x)=(x+g(xx a f(x)x=a.f(x)a
⒉积分的性质 ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x + − + − = − = + ⑴零集上的任何函数的积分为0 | ( ) | | ( ) | E E f x dx f x dx ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 f x g x f x dx g x dx E E ⑶单调性 若 ( ) ( )，则 ( ) ( ) : f x dx f x dx f x g x dx f x dx g x dx E E E E E = + = + ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ⑷线形: