实变函数 第四节微分与不定积分 4.4有界变差函数 且的:进一步了解单调函数的性质,熟悉 有界变差函数的定义,掌握其性质 重点与难点:单调函数的性质,有界变差 函数的定义及其性质
目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉 有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差 函数的定义及其性质。 4.4 有界变差函数 第四节 微分与不定积分
第四节有界变差函数 基本内容: 单调函数可导性的推论 问题1:如果/是单调函数序列,且 ∑/→fae,不难看出是单调 的,从而也几乎处处有有限导数 f的导数与f的导数有什么关系? 等式 ∑fn=fae 是否成立?
第四节 有界变差函数 基本内容： 一．单调函数可导性的推论 问题1：如果 f n是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， f n的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 是否成立？ f f a.e. n → f ' f ' a.e. n =
第四节有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2:跳跃函数的导数是什么? 推论1( Fubini)设{/n}是a,b]上的 单调增加有限函数序列,且∑/在 n- a,b]上处处收敛到有限函数了,则 =∑f'ae[a,bl
第四节 有界变差函数 (1) Fubini定理 问题2：跳跃函数的导数是什么？ 推论1(Fubini) 设 是 上的 单调增加有限函数序列，且 在 上处处收敛到有限函数 f ，则 。 { }n f n=1 n f = n n f ' f 'a.e.[a,b] [a,b] [a,b]
第四节有界变差函数 证明:不妨设f(a)=0,(n=1,2),否 则可令(x)=(x)-f(),对G讨 论就行了。记 x)=∑f(x) 则Sn(x,f(x)都是单调增加函数,故去 掉一个琴测集E后,F(x)(n=1,2,…) 都存在
证明：不妨设 ，否 则可令 ，对 讨 论就行了。记 ， 则 都是单调增加函数，故去 掉一个零测集 E 后， 都存在。 f (a) = 0,(n =1,2, ) n ( ) ( ) ( ) ~ f n x = f n x − f n a n f ~ = = n i n i S x f x 1 ( ) ( ) S (x), f (x) n n ( )( 1,2, ) Fn ' x n = 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 因S,(x)-Sn1(x)=f(x)及f(x)-Sn(x) 单调增加,故其导数均非负,从而当 x还E时,S"n1(x)≤Sn(x)≤f(x) 由此得,级数 ∑f"n(x)=lin m n→>0 几乎处处收敛。往证 ∑f"n(x)=∫(x
因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。 ( ) ( ) ( ) 1 S x S x f x n − n− = n f (x) S (x) − n xE ' ( ) ' ( ) '( ) 1 S x S x f x n− n = → = 1 ' ( ) lim ' ( ) n n n n f x S x = = 1 ' ( ) '( ) n n f x f x 第四节 有界变差函数