第三章矩阵的运算 设4引a[} 解： c= 4-1-1 0+1+2-2-0+1 2A-B+ 3 2+2+44-3-2-4-1+3
第三章 矩阵的运算 2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C − − = = − − − = − + − 例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C − − + + − − + − + = + + − − − − + 2 3 1 8 1 2 − = − − 解：
第三章矩阵的运算 三、矩阵的乘法 矩阵乘法引入的一个途径：线性变换.矩阵的乘法是阿瑟·凯莱 (Arthur Cayley,1821~1895)于1858年根据线性变换乘积的需 要提出的 1.线性变换 设变量，2，.ym能用变量x1,x2,.,xn线性表示，即： Jy1=411X1+012X2+.+41mxn, Jy2=21X1+22X2+.+02nXn, ym =am+am22+.+amnxn 其中系数0(i=1,2,.,m,j=1,2,.,m)为常数这种从 变量x，X2,x,到变量y,.yn的变换叫做线性变换
第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , , ( 1, 2, , , 1, 2, , ) . , , , , , m n n n n n m m m mn n ij n m y y y x x x y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x a i m j n x x x y y y = + + + = + + + = + + + = = 设变量 能用变量 线性表示，即： 其中系数 为常数 这种从 变量 到变量 的变换叫做线性变换. 三、矩阵的乘法 1.线性变换 矩阵乘法引入的一个途径: 线性变换. 矩阵的乘法是阿瑟·凯莱 (Arthur Cayley, 1821 ∼ 1895) 于 1858 年根据线性变换乘积的需 要提出的
第三章矩阵的运算 12 此线性变换的系数构成的mx矩阵为 22 02 m m2 称为线性变换的系数矩阵， 设两个线性变换 y=1火+12x2+413X3, (3-1) y2=21X1+422X2+023X3, x1=b141+b1242y 2=b2141+b242, (3-2) X3=b3141+b242)
第三章 矩阵的运算 11 12 1 21 22 2 1 2 . . n n m m mn a a a a a a m n a a a 此线性变换的系数构成的 矩阵为 称为线性变换的系数矩阵 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , (3 1) , , , (3 2) , y a x a x a x y a x a x a x x b t b t x b t b t x b t b t = + + − = + + = + = + − = + 设两个线性变换
第三章矩阵的运算 为求出从1，到1，y,的线性变换，可将(3-2)代入(3-1)得： 「=(a4,+a41+ab1片+(abe+ab.+as5e' 、 y2=(a21b11+L22b21+023b31)41+(a21b12+a22b2+023b32)t2 我们把线性变换(3-3)叫做线性变换3一1)与3-2) 的乘积，相应地把3一3)所对应的矩阵定义为3一1)与 (3一2)所对应的矩阵的乘积，即 b1 12 13 b 23 b32 41b1+012b21+013b31a1b2+a12b22+a13b32 a21bu+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32
第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 , , (3 2) (3 1) ( ) ( ) , (3 3) ( ) ( ) . t t y y y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t − − = + + + + + − = + + + + + 为求出从 到 的线性变换,可将 代入 得： 我们把线性变换(3－3)叫做线性变换(3－1)与(3－2) 的乘积，相应地把(3－3)所对应的矩阵定义为(3－1)与 (3－2)所对应的矩阵的乘积，即 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 31 32 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 b b a a a b b a a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + = + + + +
第三章矩阵的运算 2.矩阵乘法的定义 定义3.1.3设A=(a)是一个m×s矩阵，B=(b) 是一个sxn矩阵，作m×n矩阵C=(c),其中 Cy anbi +apbzj++axby =>anbyr 矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积， 记作C=AB,即
第三章 矩阵的运算 1 1 2 2 1 ( ) , ( ) , ( ) 3.1.3 , ij ij ij s ij i j i j is sj ik kj k A a m s B b s n m n C c c a b a b a b a b C A B C AB = = = = = + + + = = 设 是 一 个 矩 阵 是 一 个 矩 阵 作 矩 阵 ，其 中， 矩阵 称为矩阵 与矩阵 的 ， 记作 乘积 定义 即 2.矩阵乘法的定义