对相间问题，先考虑不受限制的元素，然后再将不相邻的元素插入到这些排好的元素之间及两端的空隙中，考向2特殊元素(位置)问题[例4]（1)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遇存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的李生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（（)A.18种B. 24种C.36种D.48种(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有种不同的选法(用数字作答）[解析】(1)根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的李生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×CI×CI=12(种）乘坐方式；②A家庭的李生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C3×C×CI=12(种)乘坐方式，故共有12+12=24(种)乘坐方式，故选B.(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CICAi=480（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法.由分步乘法计数原理知，共有CA=180（种）选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480+180=660（种）不同的选法，法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，第21页共120页
第 21 页 共 120 页 对相间问题，先考虑不受限制的元素，然后再将不相邻的元素插入到这些排好的元素之 间及两端的空隙中． 考向 2 特殊元素(位置)问题 [例 4] (1)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的 现象普遍存在．某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备 使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子 不考虑位置)，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自 于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 (2)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务 队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答)． [解析] (1)根据题意，分两种情况讨论： ①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下 的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C2 3×C1 2×C1 2＝12(种)乘坐方式； ②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都 在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C1 3×C1 2 ×C1 2＝12(种)乘坐方式， 故共有 12＋12＝24(种)乘坐方式，故选 B. (2)法一：只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C1 2种方法；再选 3 名男生，有 C3 6种方法； 然后排队长、副队长位置，有 A2 4种方法．由分步乘法计数原理知，共有 C1 2C3 6A2 4＝480(种)选 法． 有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C2 6种方法；然后排队长、副队长位置，有 A2 4种方 法．由分步乘法计数原理知，共有 C2 6A2 4＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共 有 480＋180＝660(种)不同的选法． 法二：不考虑限制条件，共有 A2 8C2 6种不同的选法， 而没有女生的选法有 A2 6C2 4种
故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660（种），[答案】 (1)B (2)660[解题技法]“特殊”优先原则(1)常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先。一般从以下三种思路考虑：①以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素③以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；③用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数；（2）当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决，[跟踪训练]把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A3AI种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A3A种方法，于是符合题意的摆法共有A3A1-AZA=36(种），答案：36[课时过关检测] A级基础达标1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到iga一gb的不同值的个数是(）A. 6B. 8C. 12D. 16解析：选C由于iga-igb=lg，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A3=12种，所以得到不同的值有12个，2.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（（）第22页共120页
第 22 页 共 120 页 故至少有 1 名女生的选法有 A2 8C2 6－A2 6C2 4＝840－180＝660(种)． [答案] (1)B (2)660 [解题技法] “特殊”优先原则 (1)常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置 问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑：①以元素为主考虑，即先 安排特殊元素，再安排其他元素；②以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置； ③用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数； (2)当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则 先分类，然后在每一类中再分步解决． [跟踪训练] 把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则 不同的摆法有_种． 解析：将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A2 2A4 4种方法， 将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A2 2A3 3种 方法．于是符合题意的摆法共有 A2 2A4 4－A2 2A3 3＝36(种)． 答案：36 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．从 3,5,7,11 这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 a，b，共可得到 lg a－lg b 的不同值的个数是( ) A．6 B．8 C．12 D．16 解析：选 C 由于 lg a－lg b＝lg a b ，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给 a 和 b 共有 A2 4＝12 种，所以得到不同的值有 12 个． 2．某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A.3种B,6种C. 9种D.18种解析：选CCIC3+C3CJ=2X3+1X3=93.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A.16B.18C. 24D. 32解析：选C将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A3=6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6=24(种）方法.4．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A.24B.18C. 16D. 10解析：选D分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C!A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A+CI·A= 10.5.（2021·广州调研某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A.36种B.24种C. 22 种D. 20 种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A3A=12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C3A2A2=12种推荐方法.故共有24种推荐方法.6．从(1,2,3，，10)中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A. 72B. 70C. 66D. 64解析：选D从(1,2,3，，10)中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C-C第23页共120页
第 23 页 共 120 页 A．3 种 B．6 种 C．9 种 D．18 种 解析：选 C C1 2C2 3＋C2 2C1 3＝2×3＋1×3＝9. 3．某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( ) A．16 B．18 C．24 D．32 解析：选 C 将 4 个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排 3 辆不同型号的车，在 3 个 车位上任意排列，有 A3 3＝6(种)方法，再将捆绑在一起的 4 个车位插入 4 个空档中，有 4 种 方法，故共有 4×6＝24(种)方法． 4．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游， 若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为 ( ) A．24 B．18 C．16 D．10 解析：选 D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A3 3种可选的路线；第二种： 不在最后体验甲景区，则有 C1 2·A2 2种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为 A3 3＋C1 2·A2 2 ＝10. 5．(2021·广州调研)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大学 1 个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( ) A．36 种 B．24 种 C．22 种 D．20 种 解析：选 B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有 A3 3A2 2＝12 种推荐方法；第二种，将 3 名男生分成 两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有 C2 3A2 2A2 2＝12 种推荐方法．故共有 24 种推荐方法． 6．从{1,2,3，.，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法 种数是( ) A．72 B．70 C．66 D．64 解析：选 D 从{1,2,3，.，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有 C1 2·C1 7
+CJ·Cl=56种选法，三个数相邻共有C=8种选法，故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法。7.（2021·安五校联考）十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A，B两代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（）A. 6B. 12C. 16D. 18解析：选B如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个人住同一个宾馆，此时不同的安排种数为C3A2=6.如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为CJA3=6.综上，不同的安排种数为12，故选B.8.（多选)(2021·麻城市高三联考)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A。若任意选择三门课程，选法总数为AB.若物理和化学至少选一门，选法总数为CICC.若物理和历史不能同时选，选法总数为C一CD.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CICs一C解析：选ABD对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C3种选法，选法为CIC；若物理和化学选两门，有C3种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，有C3C!种，由分步乘法计数原理知，总数为CIC+CC!，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C-C3·CI=C-C（种），正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有CI·C种选法；②选化学，不选物理，有CI·C种选法；③物理与化学都选，有C3·CI种选法，故总数为C·C3+CI·C3+C3·CI=6+10+4=20（种），错误.故选AB、D.9.2020·全国悬Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宜传活动，每名同学只去1个小种.区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余第24页共120页
第 24 页 共 120 页 ＋C1 7·C1 6＝56 种选法，三个数相邻共有 C1 8＝8 种选法，故至少有两个数相邻共有 56＋8＝64 种选法． 7．(2021·西安五校联考)十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日至 15 日在北京召 开，会议期间工作人员将其中的 5 个代表团人员(含 A，B 两代表团)安排至 a，b，c 三家宾 馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若 A， B 两代表团必须安排在 a 宾馆入住，则不同的安排种数为( ) A．6 B．12 C．16 D．18 解析：选 B 如果仅有 A，B 两代表团入住 a 宾馆，则余下 3 个代表团必有 2 个人住同 一个宾馆，此时不同的安排种数为 C2 3A2 2＝6.如果 A，B 两代表团及余下 3 个代表团中的 1 个 入住 a 宾馆，则剩下 2 个代表团分别入住 b，c 宾馆，此时不同的安排种数为 C1 3A2 2＝6.综上， 不同的安排种数为 12，故选 B. 8．(多选)(2021·麻城市高三联考)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技 术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( ) A．若任意选择三门课程，选法总数为 A3 7 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C1 2C2 5 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 C3 7－C1 5 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 C1 2C2 5－C1 5 解析：选 ABD 对于 A，若任意选择三门课程，选法总数为 C3 7，错误；对于 B，若物 理和化学选一门，有 C1 2种方法，其余两门从剩余的 5 门中选，有 C2 5种选法，选法为 C1 2C2 5； 若物理和化学选两门，有 C2 2种选法，剩下一门从剩余的 5 门中选，有 C1 5种选法，有 C2 2C1 5 种，由分步乘法计数原理知，总数为 C1 2C2 5＋C2 2C1 5，错误；对于 C，若物理和历史不能同时 选，选法总数为 C3 7－C2 2·C1 5＝C3 7－C1 5(种)，正确；对于 D，有 3 种情况：①只选物理且物理 和历史不同时选，有 C1 1·C2 4种选法；②选化学，不选物理，有 C1 1·C2 5种选法；③物理与化学 都选，有 C2 2·C1 4种选法，故总数为 C1 1·C2 4＋C1 1·C2 5＋C2 2·C1 4＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选 A、 B、D. 9．(2020·全国卷Ⅱ)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小 区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种． 解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将 4 名同学分成 3 组，其中 1 组 2 人，其余
2组各1人，有C=6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A3=6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6=36(种），答案：3610.(2021·娜州一中高三棋拟)如图，ZMON的边OM上有四点Al，3A2，A3，A4，ON上有三点Bi,B2,B3，则以O,A1，Az，A3,A4,Bl4B2，B3为顶点的三角形个数为OBIBBN解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C个，再减去三点共线的情形即可.共有C-C-C=42（个）答案：4211.（2021·合肥第一次教学检测）“学习强国”是由中宜部主管，以深入学习宜传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种。解析：先在4个视频中选择2个视频，有C种方法，再按一定顺序排列有A种方法，最后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有A种方法，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有C3AZA3=72(种）答案：7212为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛。已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个班级进行比赛。现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有种.解析：不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，42，BI，B2，G，C2.可根据A1，A2之间的班级个数进行分类计论。当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有A3·CI·CI-(A2+CI·A3)=96(种）当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有A2·CI·CI·A3(A2+CI·A2)=96(种);当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有A·CI·A2A3=32(种)；当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有A2·A2·C·C=16(种）：综上，不同的排法共有96+96+32+16=240（种），答案：240第25页共120页
第 25 页 共 120 页 2 组各 1 人，有 C2 4＝6 种安排方法；第二步，将分好的 3 组安排到对应的 3 个小区，有 A3 3 ＝6 种安排方法，所以不同的安排方法有 6×6＝36(种)． 答案：36 10.(2021·郑州一中高三模拟)如图，∠MON 的边 OM 上有四点 A1， A2，A3，A4，ON 上有三点 B1，B2，B3，则以 O，A1，A2，A3，A4，B1， B2，B3 为顶点的三角形个数为_． 解析：用间接法．先从这 8 个点中任取 3 个点，最多构成三角形 C3 8 个，再减去三点共线的情形即可．共有 C3 8－C3 5－C3 4＝42(个)． 答案：42 11．(2021·合肥第一次教学检测)“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平 新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的 优质学习平台．该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某 时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2 篇文章学习顺序不相邻的学法有_种． 解析：先在 4 个视频中选择 2 个视频，有 C2 4种方法，再按一定顺序排列有 A2 2种方法， 最后把 2 篇文章插入 2 个视频形成的 3 个空位中有 A2 3种方法，则这 2 篇文章学习顺序不相 邻的学法有 C2 4A2 2A2 3＝72(种)． 答案：72 12．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了 2 个班级，共 6 个班级进行比赛．现要求同一年级的 2 个班级的节目不连排，则节目编排的 不同方法共有_种． 解析：不妨记高一、高二、高三每个年级推选的 2 个班级分别为 A1，A2，B1，B2，C1， C2.可根据 A1，A2 之间的班级个数进行分类计论． 当 A1，A2 之间有 1 个班级时，不同的排法有 A2 2·C1 4·C1 2·(A2 2＋C1 2·A2 2)＝96(种)； 当 A1，A2 之间有 2 个班级时，不同的排法有 A2 2·C1 2·C1 2·A2 2·(A2 2＋C1 2·A2 2)＝96(种)； 当 A1，A2 之间有 3 个班级时，不同的排法有 A2 2·C1 4·A2 2·A2 2＝32(种)； 当 A1，A2 之间有 4 个班级时，不同的排法有 A2 2·A2 2·C1 2·C1 2＝16(种)． 综上，不同的排法共有 96＋96＋32＋16＝240(种)， 答案：240