3.（选修2-3第28页A组17题改编）在100件产品中，有2件次品，从中任取3件其中“至少有1件次品”的取法有种。解析：法一：第1类，“只有1件次品”，共有CICs种；第2类，“有2件次品”，共有Cl种，由分类加法计数原理知共有CICs+Cls=9604(种).法二：无任何限制共有Cioo种，其中“没有次品”共有C种，则“至少有1件次品”共有Ci00-C38=9604(种）答案：96044.（选修2一3第28贡B组3题改编）由12,3,4,5,6,78八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为—：(用数字作答)解析：问题转化为求从8个不同元素中选取2个元素的排列数，即A=8×7=56.答案：56【记结论提速度][记结论]组合数的两个性质(1)Cm=Cn-";(2)C"+Cm-1=C#+1.[提速度]1.计算C+C+C+C的值为(用数字作答）解析：原式=C+C+C8=C+C8=Cfo=C10=210.答案：2102.计算：C3%一"+C42的值[38 - n≤3n,解：[3n≤21+n,.9.5≤n≤10.5.:nEN*,..n=10.:.C3%-n+CY+n=C38+C3I=C30+C3130×292X1+31第16页共120页
第 16 页 共 120 页 3．(选修 2－3 第 28 页 A 组 17 题改编)在 100 件产品中，有 2 件次品，从中任取 3 件， 其中“至少有 1 件次品”的取法有_种． 解析：法一：第 1 类，“只有 1 件次品”，共有 C1 2C2 98种； 第 2 类，“有 2 件次品”，共有 C1 98种，由分类加法计数原理知共有 C1 2C2 98＋C1 98＝9 604(种)． 法二：无任何限制共有 C3 100种，其中“没有次品”共有 C3 98种，则“至少有 1 件次品” 共有 C3 100－C3 98＝9 604(种)． 答案：9 604 4．(选修 2－3 第 28 页 B 组 3 题改编)由 1,2,3,4,5,6,7,8 八个数字，组成无重复数字的两 位数的个数为_．(用数字作答) 解析：问题转化为求从 8 个不同元素中选取 2 个元素的排列数，即 A2 8＝8×7＝56. 答案：56 [记结论·提速度] [记结论] 组合数的两个性质 (1)Cm n＝Cn－m n ； (2)Cm n＋Cm－1 n ＝Cm n＋1. [提速度] 1．计算 C3 7＋C4 7＋C5 8＋C6 9的值为_(用数字作答)． 解析：原式＝C4 8＋C5 8＋C6 9＝C5 9＋C6 9＝C6 10＝C4 10＝210. 答案：210 2．计算：C38－n 3n ＋C3n n＋21的值． 解：∵ 38－n≤3n， 3n≤21＋n， ∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10. ∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n＝C2830＋C30 31＝C2 30＋C1 31 ＝ 30×29 2×1 ＋31
= 466.考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一排列问题[师生共研过关][例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。（1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻[解】（1)从7人中选5人排列，有A=7X6×5×4X3=2520（种）.(2分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA=5040(种).(3)法一（特殊元素优先法）：先排甲，有5种方法，其余6人有A8种排列方法，共有5×A8=3600(种).法二（特殊位置优先法）：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA3=3600（种）(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A1·A1=576(种)(5)（插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A=1440（种）[解题技法]求解排列应用问题的5种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元第17页共120页
第 17 页 共 120 页 ＝466. 排列问题 [师生共研过关] [例 1] 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻． [解] (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A5 7＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A3 7种方法，余下 4 人站后排，有 A4 4种方法，共有 A3 7A4 4＝5 040(种)． (3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A6 6种排列方法，共有 5×A6 6 ＝3 600(种)． 法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A2 6种排法，其他有 A5 5种 排法，共有 A2 6A5 5＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A4 4种方法，再将女生全排 列，有 A4 4种方法，共有 A4 4·A4 4＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有 A4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安 排男生，有 A3 5种方法，共有 A4 4·A3 5＝1 440(种)． [解题技法] 求解排列应用问题的 5 种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
素排列的空档中间接法正难则反、等价转化的方法[跟踪训练]1.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（（）A.1800B.3600C.4320D. 5040解析：选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA=3600（种）2.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C①当干位上的数字为4时，满足条件的四位数有A=24(个）；②当干位上的数字为3时，满足条件的四位数有A=24（个）·由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24+24=48（个），故选C.3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有解析：3名女生排在一起，有A3种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排有A种排法，故共有A3A=4320种）不同排法。答案：4320考点二组合问题[师生共研过关][例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货。现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？[解】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C34=561(种)取法，第18页共120页
第 18 页 共 120 页 素排列的空档中 间接法 正难则反、等价转化的方法 [跟踪训练] 1．高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目、2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序， 要求 2 个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( ) A．1 800 B．3 600 C．4 320 D．5 040 解析：选 B 先排除舞蹈节目以外的 5 个节目，共 A5 5种，再把 2 个舞蹈节目插在 6 个 空位中，有 A2 6种，所以共有 A5 5A2 6＝3 600(种)． 2．用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数，这样的四位数有( ) A．250 个 B．249 个 C．48 个 D．24 个 解析：选 C ①当千位上的数字为 4 时，满足条件的四位数有 A3 4＝24(个)；②当千位上 的数字为 3 时，满足条件的四位数有 A3 4＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数 共有 24＋24＝48(个)，故选 C． 3．3 名女生和 5 名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有_． 解析：3 名女生排在一起，有 A3 3种排法，把 3 名女生看作一个整体再与 5 名男生全排列 有 A6 6种排法，故共有 A3 3A6 6＝4 320(种)不同排法． 答案：4 320 组合问题 [师生共研过关] [例 2] 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货．现从 35 种商 品中选取 3 种． (1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同取法有多少种？ [解] (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C2 34＝561(种)取法
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种。(2)从34种可选商品中，选取3种，有C3种或者C35-C34=C34=5984(种)取法所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种。(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C2iCts=2100(种)取法。所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种。(4)选取2种假货有CloCis种，选取3种假货有Cis种，共有选取方式CkoCts+Cis=2100+455=2555(种）。所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种(5)法一(间接法)：选取3种商品的总数为C35，因此共有选取方式C3s一Cis=6545—455=6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种法二(直接法)：共有选取方式C2o+C3oCls+C2iCts=6090(种）所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种。[解题技法]组合问题的2类题型及求解方法(1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。[跟踪训练](2021·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为解析：甲、乙中裁一人的方案有CIC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员第19页共120页
第 19 页 共 120 页 所以某一种假货必须在内的不同取法有 561 种． (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种， 有 C3 34种或者 C3 35－C2 34＝C3 34＝5 984(种)取法． 所以某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种． (3)从 20 种真货中选取 1 种， 从 15 种假货中选取 2 种有 C1 20C2 15＝2 100(种)取法． 所以恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 种假货有 C1 20C2 15种，选取 3 种假货有 C3 15种， 共有选取方式 C1 20C2 15＋C3 15＝2 100＋455＝2 555(种)． 所以至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)法一(间接法)：选取 3 种商品的总数为 C3 35，因此共有选取方式 C3 35－C3 15＝6 545－ 455＝6 090(种)． 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种． 法二(直接法)：共有选取方式 C3 20＋C2 20C1 15＋C1 20C2 15＝6 090(种)． 所以至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种． [解题技法] 组合问题的 2 类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另 外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与 “至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直 接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． [跟踪训练] (2021·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从 10 名办 公室工作人员中裁去 4 人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 _． 解析：甲、乙中裁一人的方案有 C1 2C3 8种，甲、乙都不裁的方案有 C4 8种，故不同的裁员
方案共有CIC8+C=182(种）答案：182老点三排列与组合的综合问题[定向精析突破]考向1相邻问题与相间问题[例3]（1)(2021·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C. 48种D. 96 种(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A. 72B. 120C. 144D.168[解析】（1)从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C3A3=6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女性领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2=12（种）排法(A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有12×4=48（种）不同排法.2)安排小品节自和相声节自的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”，对于第一种情况，形式为口，小品1，歌舞1，小品2，口，相声，口”，有A3C3A3=36（种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“口，小品1，口，相声，口，小品2，口”，有A3A=48（种）安排方法，故共有36+36+48=120（种)安排方法。[答案] (1)C(2)B[解题技法]1.相邻问题“捆绑法”把相邻元素看作一个整体，再与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素内部的排列，2.相间问题“插空法”第20页共120页
第 20 页 共 120 页 方案共有 C1 2C3 8＋C4 8＝182(种)． 答案：182 排列与组合的综合问题 [定向精析突破] 考向 1 相邻问题与相间问题 [例 3] (1)(2021·怀化模拟)北京 APEC 峰会期间，有 2 位女性和 3 位男性共 5 位领导人 站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3 位男性领导人中有且只有 2 位相邻的站法有 ( ) A．12 种 B．24 种 C．48 种 D．96 种 (2)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序， 则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168 [解析] (1)从 3 位男性领导人中任取 2 人“捆”在一起记作 A，A 共有 C2 3A2 2＝6(种)不同 排法，剩下 1 位男性领导人记作 B,2 位女性分别记作甲、乙；则女性领导人甲必须在 A，B 之间，此时共有 6×2＝12(种)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，最后再在排好的三个元素中选出 四个位置插入乙， ∴共有 12×4＝48(种)不同排法． (2)安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”“小品 1，相声，小 品 2”和“相声，小品 1，小品 2”．对于第一种情况，形式为“□，小品 1，歌舞 1，小品 2， □，相声，□”，有 A2 2C1 3A2 3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于 第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“□，小品 1，□，相声，□，小品 2，□”， 有 A2 2A3 4＝48(种)安排方法，故共有 36＋36＋48＝120(种)安排方法． [答案] (1)C (2)B [解题技法] 1．相邻问题“捆绑法” 把相邻元素看作一个整体，再与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素内部的排列． 2．相间问题“插空法