B级——综合应用13.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中。若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有（）A12种B.16种C. 18种D. 36 种解析：选C先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的 2 个盒子中， 共有2C- A=6(种)情况，所以不同的放法共有 3 × 6= 18(种) 2!14.2021·四省八校第二次质量检测)某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2020年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（）A.120种B. 156种C.188种D. 240 种解析：选A将《一带一路》《命运与共》两个节目捆绑在一起有A种编排方案，当《文明之光》排在第一位时，有A3A种编排方案.当《文明之光》排在第二位时，有C3A2A3种编排方案.当《文明之光》排在第三位时，若《一带一路》《命运与共》两个节自排在前二位，则有A3A种编排方案；若《一带一路》《命运与共》两个节目不排在前二位，则有A3A2A种编排方案.所以编排方案共有A2A1+CJA3A3+A2A3+A3A3A2=48+36+12+24=120(种) 15.（多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法B分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法D，分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法解析：选ABC对A，先从6本书中分给甲2本，有C种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种方法.所以不同的分配方法有CCC2=90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CtA3=90种，故B正确；对C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有CC种方法；其余2本分给丙、丁，有A种方法.所以不同的第26页共120页
第 26 页 共 120 页 B 级——综合应用 13．将标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中．若每个盒子放 2 个， 其中标号为 1,2 的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( ) A．12 种 B．16 种 C．18 种 D．36 种 解析：选 C 先将标号为 1,2 的小球放入盒子，有 3 种情况；再将剩下的 4 个球平均放 入剩下的 2 个盒子中，共有C2 4·C2 2 2！ ·A2 2＝6(种)情况，所以不同的放法共有 3×6＝18(种)． 14．(2021·四省八校第二次质量检测)某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于 2020 年 11 月 20 日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由 6 个节目组成，若考虑整体 效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》 《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有( ) A．120 种 B．156 种 C．188 种 D．240 种 解析：选 A 将《一带一路》《命运与共》两个节目捆绑在一起有 A2 2种编排方案，当《文 明之光》排在第一位时，有 A2 2A4 4种编排方案．当《文明之光》排在第二位时，有 C1 3A2 2A3 3种 编排方案．当《文明之光》排在第三位时，若《一带一路》《命运与共》两个节目排在前二 位，则有 A2 2A3 3种编排方案；若《一带一路》《命运与共》两个节目不排在前二位，则有 A2 3A2 2 A2 2种编排方案．所以编排方案共有 A2 2A4 4＋C1 3A2 2A3 3＋A2 2A3 3＋A2 3A2 2A2 2＝48＋36＋12＋24＝ 120(种)． 15．(多选)有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( ) A．分给甲、乙、丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法 B．分给甲、乙、丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法 C．分给甲、乙每人各 2 本，分给丙、丁每人各 1 本，有 180 种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2 160 种分法 解析：选 ABC 对 A，先从 6 本书中分给甲 2 本，有 C2 6种方法；再从其余的 4 本书中 分给乙 2 本，有 C2 4种方法；最后的 2 本书给丙，有 C2 2种方法．所以不同的分配方法有 C2 6C2 4 C2 2＝90 种，故 A 正确；对 B，先把 6 本书分成 3 堆：4 本、1 本、1 本，有 C4 6种方法；再分 给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有 C4 6A3 3＝90 种，故 B 正确；对 C,6 本不同的书先 分给甲、乙每人各 2 本，有 C2 6C2 4种方法；其余 2 本分给丙、丁，有 A2 2种方法．所以不同的
分配方法有CCiA3=180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本CC CIC1本、1本，有AAF种方法；CCCICI·A1=1080种，故D错再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有A2A2误.C级—迁移创新16.定义“有增有减”数列(an如下：存在tEN，满足aKa+1，且存在sEN，满足a,>as+1.已知“有增有减”数列(an)共四项，若a;E(x，y，z)(i=1,2,3,4)，且x<y<z，则数列(an)共有(）A.64个B. 57个D. 54个C.56个解析：选D当四项中只有两项相同时(如x，J，z，x)，共有CJ-=30（个）：当四项中有三项相同时(如x，x，J，x)，共有C3CICI=12(个)；当四项中两两相同时(如x,y，AI=12（个）.所以数列am）共有30+12+12=54（个），故选D.x，J)，共有 C3A3A3第三节二项式定理[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.能用多项式运算法则和计数原1.二项展开式中的特定项(系数)1.数学运算理证明二项式定理。2.二项展开式中的系数和问题。2.逻辑推理2.会用二项式定理解决与二项展3.二项展开式中的系数最值问题开式有关的简单间题知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点二项式定理1．二项式定理二项式定理(a+b)"=Cg"+Chr"-"b+.+Cq"*+.+Cb"(nEN)第27页共120页
第 27 页 共 120 页 分配方法有 C2 6C2 4A2 2＝180 种，故 C 正确；对 D，先把 6 本不同的书分成 4 堆：2 本、2 本、 1 本、1 本，有C2 6C2 4 A2 2 · C1 2C1 1 A2 2 种方法； 再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有C2 6C2 4 A2 2 · C1 2C1 1 A2 2 ·A4 4＝1 080 种，故 D 错 误． C 级——迁移创新 16．定义“有增有减”数列{an}如下：存在 t∈N*，满足 at<at＋1，且存在 s∈N*，满足 as>as＋1.已知“有增有减”数列{an}共四项，若 ai∈{x，y，z}(i＝1,2,3,4)，且 x<y<z，则数列 {an}共有( ) A．64 个 B．57 个 C．56 个 D．54 个 解析：选 D 当四项中只有两项相同时(如 x，y，z，x)，共有 C1 3· A 4 4 A2 2 －2 ＝30(个)；当 四项中有三项相同时(如 x，x，y，x)，共有 C2 3C1 2C1 2＝12(个)；当四项中两两相同时(如 x，y， x，y)，共有 C2 3 A 4 4 A2 2A2 2 －2 ＝12(个)．所以数列{an}共有 30＋12＋12＝54(个)．故选 D. 第三节 二项式定理 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原 理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决与二项展 开式有关的简单问题 1.二项展开式中的特定项(系数)． 2.二项展开式中的系数和问题． 3.二项展开式中的系数最值问题 1.数学运算． 2.逻辑推理 [重点准·逐点清] 重点 二项式定理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b) n＝C0 na n＋C1 na n－1b＋.＋Ck na n－kb k＋.＋Cn nb n (n∈N* )
二项展开式的通项公式Tk+1=Cha"-*b，它表示第k+1项二项式系数二项展开式中各项的系数C%，C，，C[提醒］(1)项数为n+1;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；(3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n2.二项式系数的性质对称性与首末等距的两个二项式系数相等，即C=C当<时，二项式系数是递增的当>号时，二项式系数是递减的性增减性与最大值当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大C+Cl+C+.+C+=-2"二项式系数的和[c+C+C.+=C,+C.+C+.=2[逐点清]1.(多选)下列选项正确的有()A.Cha"-kb是（a十b)"的展开式的第k项B.（a十b)"的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关C。二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项D.（a十b)"某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同答案：BD2.（选修2一3第31页练习2题改编）(1十2x）5的展开式中，x2的系数等于（A. 80B. 40C. 20D. 10解析：选BTk+1=C(2x)=C2kxk，当k=2时，x的系数为C3-22=40.13. (选修2 -3第34页例 3改编)若(x十展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(OA. 10B. 20C. 30D.120第28页共120页
第 28 页 共 120 页 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Ck na n－kb k，它表示第 k＋1 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数 C0 n，C1 n，.，Cn n [提醒] (1)项数为 n＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n； (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. 2．二项式系数的性质 [逐点清] 1．(多选)下列选项正确的有( ) A．Ck na n－kb k 是(a＋b) n的展开式的第 k 项 B．(a＋b) n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关 C．二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 D．(a＋b) n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不 同 答案：BD 2．(选修 2－3 第 31 页练习 2 题改编)(1＋2x) 5 的展开式中，x 2 的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10 解析：选 B Tk＋1＝Ck 5(2x) k＝Ck 52 kx k，当 k＝2 时，x 2 的系数为 C2 5·22＝40. 3．(选修 2－3 第 34 页例 3 改编)若 x＋ 1 x n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的 常数项为( ) A．10 B．20 C．30 D．120
解析：选B二项式系数之和2"=64，所以n=6，Tk+1=Ce-x6-=Ckx6-2k，当6-2k=0，即当k=3时为常数项，T4=C=20.4.（易错题）若(x1)*=ao十ax十a2x2十a十a则ao十az十a的值为）A. 9B. 8C. 7D. 6解析：选B令x=1则ao+a+az+a3+a4=0，令x=-1则ao-a+a2-a3+=16，两式相加得a0+a2+a4=8.【记结论提速度][记结论]若二项展开式的通项为T,+1=g(r)·x(r)(r=0,1,2，，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)=0台T+1是常数项；(2)h(r)是非负整数台T+1是整式项；(3)h(r)是负整数台T,+1是分式项；(4)h(n)是整数台T+1是有理项[提速度]1-2)°的展开式中，常数项是(B. 5A. -544C. - 1515D. 1616解析：选D (-)展开式的通项T.=C(a)-(fCar12.3r，令1223r=0 ,解得 r=4.,所以常数项为(-)ct=1=162. 二项式(Vx+的展开式中，有理项共有项.6-3r.6-3r解析：二项式(k+)的展开式的通项 T,=Ca(Nk)-C)=a”当”为整数时是有理项，此时r=0,2,4.6，共有4项，答案：4考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练第29页共120页
第 29 页 共 120 页 解析：选 B 二项式系数之和 2 n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝Ck 6·x 6－k · 1 x k＝Ck 6x 6－2k，当 6 －2k＝0，即当 k＝3 时为常数项，T4＝C3 6＝20. 4．(易错题)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x 2＋a3x 3＋a4x 4, 则 a0＋a2＋a4 的值为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选 B 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝ 16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8. [记结论·提速度] [记结论] 若二项展开式的通项为 Tr＋1＝g(r)·x h(r) (r＝0,1,2，.，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1 是常数项； (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1 是整式项； (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1 是分式项； (4)h(r)是整数⇔Tr＋1 是有理项． [提速度] 1. x 2－ 1 2x 6 的展开式中，常数项是( ) A．－ 5 4 B． 5 4 C．－ 15 16 D． 15 16 解析：选 D x 2－ 1 2x 6 展开式的通项 Tr＋1＝Cr 6(x 2 ) 6－r － 1 2x r＝ － 1 2 rCr 6x 12－3r，令 12－ 3r＝0，解得 r＝4.所以常数项为 － 1 2 4C4 6＝ 15 16. 2．二项式 x＋ 1 x 6 的展开式中，有理项共有_项． 解析：二项式 x＋ 1 x 6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr 6( x) 6－r · 1 x r＝Cr 6x 6－3r 2 .当 6－3r 2 为整 数时是有理项，此时 r＝0,2,4,6，共有 4 项． 答案：4
考点二项展开式的特定项(系数）[定向精析突破]考向1求解形如(a十b)(nEN*)的展开式中与特定项相关的量(2)的展开式中，V项的系数是([例1](1)二项式(2X15A. 5B.2C. 15D. -15的展开式的常数项为160，则实数a=2)ax+(的二项展开式的通项为 =c(（=(-1)2Co。[解析] (1)(2X3rA3r15-号,令5-号-2，得=3,所以项的系数是(-1)-2-C%=-号.故岁故选B(2)法—：(ax+的展开式的通项 T,+1=C(ax)6-r()=Cad-5x6-2,令6 -2r=0,得r=3，所以Ca6-3=160，解得a=2.法二:(ax+)=-(ax+ax+ax+a+)a+)ax+),要得到常数项,则需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即C&a=160，解得a= 2.[答案】 (1)B (2)2【解题技法】求形如(a十b)"(nEN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T+1=Cra-rb，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件（如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数）先列出相应方程（组）或不等式（组），解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T,+1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T,+1或者其他量.考向2求解形如（a十b"(c+d)"（m，nEN)的展开式中与特定项相关的量第30页共120页
第 30 页 共 120 页 二项展开式的特定项(系数) [定向精析突破] 考向 1 求解形如(a＋b) n (n∈N* )的展开式中与特定项相关的量 [例 1] (1)二项式 x 2 － 2 x 10 的展开式中， x项的系数是( ) A． 15 2 B．－ 15 2 C．15 D．－15 (2) ax＋ 1 x 6 的展开式的常数项为 160，则实数 a＝_. [解析] (1) x 2 － 2 x 10 的二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 10 x 2 10－r － 2 x r＝(－1)r2 2r－10Cr 10 x5－ 3r 2 ，令 5－ 3r 2 ＝ 1 2 ，得 r＝3，所以 x项的系数是(－1)3 ·2－4 ·C3 10＝－ 15 2 .故选 B. (2)法一： ax＋ 1 x 6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr 6(ax) 6－r · 1 x r＝Cr 6a 6－rx 6－2r，令 6－2r＝0， 得 r＝3，所以 C3 6a 6－3＝160，解得 a＝2. 法二： ax＋ 1 x 6＝ ax＋ 1 x ax＋ 1 x ax＋ 1 x ax＋ 1 x ax＋ 1 x ax＋ 1 x ，要得到常数项，则需 ax 与 1 x 的个数相同，各为 3 个，所以从 6 个因式中选择 3 个 ax 的系数，即 C3 6a 3＝160，解得 a＝2. [答案] (1)B (2)2 [解题技法] 求形如(a＋b) n (n∈N* )的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Cr na n－rb r，常把字母和系数 分离开来(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列 出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r； 第三步，把 r 代入通项公式中，即可求出 Tr＋1，有时还需要先求 n，再求 r，才能求出 Tr＋1 或者其他量． 考向 2 求解形如(a＋b) m(c＋d) n (m，n∈N* )的展开式中与特定项相关的量