4份纪念品的同学人数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选BD设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.若任意两位同学之间都进行交换，需要进行5+4+3+2+1=15（次）交换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a~b和a~c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人(2)由4人构成的2次交换，如a~b和c~d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，d四人.综上所述收到4份纪念品的同学人数为2或4人，9.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的/.320螺栓，若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺10O栓。则不同的固定螺栓方式的种数是—·?56°解析：根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3，4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6=60（种)方法，故答案是60答案：6010。从集合(1,2,3,4，，10)中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有个。解析：将和等于11的放在一组：1和102和9，3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C=2(种）.共有2X2×2×2×2=32(个）子集。答案：3211.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4X3×2=24(种) .第11页共120页
第 11 页 共 120 页 4 份纪念品的同学人数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 BD 设 6 位同学分别用 a，b，c，d，e，f 表示．若任意两位同学之间都进行 交换，需要进行 5＋4＋3＋2＋1＝15(次)交换，现只进行了 13 次交换，说明有 2 次交换没有 发生，此时可能有两种情况： (1)由 3 人构成的 2 次交换，如 a～b 和 a～c 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品 的有 b，c 两人． (2)由 4 人构成的 2 次交换，如 a～b 和 c～d 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品 的有 a，b，c，d 四人． 综上所述收到 4 份纪念品的同学人数为 2 或 4 人． 9.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的 螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺 栓．则不同的固定螺栓方式的种数是_． 解析：根据题意，第一个可以从 6 个螺栓里任意选一个，共有 6 种选 择方法，并且是机会相等的，若第一个选 1 号螺栓，第二个可以选 3,4,5 号螺栓，依次选下 去，共可以得到 10 种方法，所以总共有 10×6＝60(种)方法，故答案是 60. 答案：60 10．从集合{1,2,3,4，.，10}中，选出 5 个数组成子集，使得这 5 个数中任意两个数的 和都不等于 11，则这样的子集有_个． 解析：将和等于 11 的放在一组：1 和 10,2 和 9，3 和 8,4 和 7,5 和 6.从每一小组中取一 个，有 C1 2＝2(种)．共有 2×2×2×2×2＝32(个)子集． 答案：32 11．在某一运动会百米决赛上，8 名男运动员参加 100 米决赛．其中甲、乙、丙三人必 须在 1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8名运动员比赛的方式共有_ 种． 解析：分两步安排这 8 名运动员． 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排．故安排方式有 4×3×2＝ 24(种)．
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1=120（种）故安排这8人的方式共有24×120=2880（种），答案：288012.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑，从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有种（用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2=4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法;第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法根据分类加法计数原理，共有4+2+1+1=8种选派方法.答案：8B级——综合应用13.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A, 24B. 48C. 72D. 96解析：选C分两种情况：?A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4X3X2=第12页共120页
第 12 页 共 120 页 第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式 有 5×4×3×2×1＝120(种)． 故安排这 8 人的方式共有 24×120＝2 880(种)． 答案：2 880 12．有 A，B，C 型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁 4 个操作人员的技术等级不同， 甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作 C 型电脑，而丁只会操作 A 型电脑．从这 4 个 操作人员中选 3 人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有_种(用数字 作答)． 解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从 4 个操作人员中选 3 人去操作 这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类： 第 1 类，选甲、乙、丙 3 人，由于丙不会操作 C 型电脑，分 2 步安排这 3 人操作的电 脑的型号，有 2×2＝4 种方法； 第 2 类，选甲、乙、丁 3 人，由于丁只会操作 A 型电脑，这时安排 3 人分别去操作这 三种型号的电脑，有 2 种方法； 第 3 类，选甲、丙、丁 3 人，这时安排 3 人分别去操作这三种型号的电脑，只有 1 种方 法； 第 4 类，选乙、丙、丁 3 人，同样也只有 1 种方法． 根据分类加法计数原理，共有 4＋2＋1＋1＝8 种选派方法． 答案：8 B 级——综合应用 13.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区 域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ( ) A．24 B．48 C．72 D．96 解析：选 C 分两种情况： ①A，C 不同色，先涂 A 有 4 种，C 有 3 种，E 有 2 种，B，D 各有 1 种，有 4×3×2＝
24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4X3X2X2=48种涂法.故共有24+48=72种涂色方法，14.（多选）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A，从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置共有12种不同的挂法解析：选ABC对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法，A正确；对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7=70（种）不同的选法，B正确；对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步乘法计数原理知，有5×2=10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35（种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7=14(种)不同的选法，所以共有10+35+14=59(种)不同的选法，C正确；对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3×2=6.D错误，故选A、B、C.15.若m，n均为非负整数，在做m十n的加法时各位均不进位（例如：134十3802=3936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m十n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是第13页共120页
第 13 页 共 120 页 24 种涂法． ②A，C 同色，先涂 A 有 4 种，E 有 3 种，C 有 1 种，B，D 各有 2 种，有 4×3×2×2 ＝48 种涂法． 故共有 24＋48＝72 种涂色方法． 14．(多选)现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画，下列说法正确 的有( ) A．从中任选一幅画布置房间，有 14 种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有 70 种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有 59 种不同的选法 D．要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 共有 12 种不同的挂法 解析：选 ABC 对于 A：分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选， 有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有 5＋ 2＋7＝14(种)不同的选法，A 正确； 对于 B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分 步乘法计数原理，共有 5×2×7＝70(种)不同的选法，B 正确； 对于 C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知， 有 5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2×7＝14(种)不同的选法，所以共有 10＋ 35＋14＝59(种)不同的选法，C 正确； 对于 D：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步， 从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边 墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N＝3×2＝6.D 错误，故选 A、B、C． 15．若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而 m＋n 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是_．
解析：第1步，1=1+0,1=0+1，共2种组合方式；第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+79=3+6，，9=9+0，共10种组合方式；第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0，共5种组合方式第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0，共3种组合方式，根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300答案：300C级——迁移创新16.（2021·山西太原棋拟）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)：记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.若a，b，c成等种.差数列，则不同的分珠计数法有8000000000000000000解析：根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[-3,3]中的整数.①当公差d=0时，有C=8种；②当公差d=±1时，b不取7和14，有2×C=12种；③当公差d=±2时，b不取7,8,13,14，有2×CI=8种：当公差d=±3时，b只能取10或11，有2×Cl=4种.综上，共有8+12+8+4=32种不同的分珠计数法.答案：32第二节排列与组合[备考领航]关联考点核心素养课程标准解读1.通过实例，理解排列、组合的概1.排列间题，念.1.数学建模.2.组合问题2.逻辑推理2.能利用计数原理推导排列数公3.排列与组合的综合问题式、组合数公式知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修第14页共120页
第 14 页 共 120 页 解析：第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 种组合方式； 第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，.，9＝9＋0，共 10 种组合方式； 第 3 步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共 5 种组合方式； 第 4 步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 种组合方式． 根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是 2×10×5×3＝300. 答案：300 C 级——迁移创新 16．(2021·山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有 7 个算珠，现将每档算 珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数 1(允许一侧无珠)， 记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c.例如，图中上档的数字和 a＝9.若 a，b，c 成等 差数列，则不同的分珠计数法有_种． 解析：根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围 是区间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C1 8＝8 种；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14，有 2×C1 6＝12 种；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C1 4＝8 种；④当公差 d ＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C1 2＝4 种．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32 种不同的分珠 计数法． 答案：32 第二节 排列与组合 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过实例，理解排列、组合的概 念． 2.能利用计数原理推导排列数公 式、组合数公式 1.排列问题． 2.组合问题． 3.排列与组合的综合问题 1.数学建模． 2.逻辑推理
[重点准·逐点清]重点一排列、组合的定义并按照一定的顺序排成一列，叫做从n排列的定义个不同元素中取出m个元素的一个排从 n个不同元素中取出 m(m≤n)列个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出组合的定义m个元素的一个组合[逐点清]1.(多选)下列说法正确的有(A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C.若组合式C=C"，则x=m成立D.排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况：也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了答案：BD重点二排列数、组合数的定义、公式组合数排列数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n定义EN"）个元素的所有不同排列的个数EN"个元素的所有不同组合的个数Cm=AnA"=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=Am公式n!n(n-1(n-2)-(n-m+1)(n一m)!m![提醒] A=nl,0!=1,CI=C=1.[逐点清]2.（选修2一3第20页练习6题改编）从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（A. 12B. 24C. 64D. 81解析：选B4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A=24.第15页共120页
第 15 页 共 120 页 [重点准·逐点清] 重点一 排列、组合的定义 排列的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排 列 组合的定义 作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 [逐点清] 1．(多选)下列说法正确的有( ) A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 C．若组合式 Cx n＝Cm n ，则 x＝m 成立 D．排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情 况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了 答案：BD 重点二 排列数、组合数的定义、公式 排列数 组合数 定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，n ∈N * )个元素的所有不同排列的个数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，n ∈N * )个元素的所有不同组合的个数 公式 Am n＝n(n－1)(n－2).(n－m＋1)＝ n！ (n－m)！ Cm n＝ Am n Am m ＝ n(n－1)(n－2).(n－m＋1) m！ [提醒] A n n＝n！，0！＝1，C0 n＝Cn n＝1. [逐点清] 2．(选修 2－3 第 20 页练习 6 题改编)从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学， 每人各 1 本，则不同的送法种数是( ) A．12 B．24 C．64 D．81 解析：选 B 4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法 种数为 A3 4＝24