)10.1群的定义及性质 豪 口群中元素的幂:G为群,a∈G的n次幂 ☆a0=e an=an-la n>0 (a)m=(a1)mn<0,m=-n 口例: <Z3>中有 23=(2-1)3=13=111=0 13
13 10.1 群的定义及性质 ❑群中元素的幂: G为群，aG的n次幂 ❖a0=e ❖an=an-1a, n>0 ❖(a)n= (a-1)m, n<0, m=-n ❑例： ❖<Z3,>中有 • 2-3=(2-1) 3=13=111=0
)10.1群的定义及性质 豪 口群的元素的阶(周期):G是群,a∈G 令a的阶:最小的正整数k,ak=e 令记作|a|=k:a为k阶元 令k不存在则a为无限元 口例: <Z6>中,2和4是3阶元,3是2阶元 ☆四元群中,e是1阶元,其他元素是2阶元 14
14 10.1 群的定义及性质 ❑群的元素的阶(周期): G是群，aG ❖a的阶：最小的正整数k，ak=e ❖记作|a|=k: a为k阶元 ❖k不存在则a为无限元 ❑例： ❖<Z6,>中, 2和4是3阶元, 3是2阶元 ❖四元群中, e是1阶元, 其他元素是2阶元
)10.1群的定义及性质 豪 口定理:G是群,G中幂运算满足 l)va∈G,(a-)-=a 2)ya,b∈G,(ab)=ba 3)Va∈G,aam=am+m,n,m∈Z 4)Va∈G,(a")=am,n,m∈z 5)若G为交换群,则(ab)"=a"b″ 15
15 10.1 群的定义及性质 ❑ 定理：G是群，G中幂运算满足： 1 1 1 1 1 1) , ( ) 2) , , ( ) 3) , , , 4) , ( ) , , 5) G ( ) n m n m n m nm n n n a G a a a b G ab b a a G a a a n m Z a G a a n m Z ab a b − − − − − + = = = = 若 为交换群，则 =
)10.1群的定义及性质 豪 2)证明: (a*b)*(b1*a1) a*(b*b1)*a1 ae日-=已 (b1*a-1)*(a*b) b*(a1*a)*b b l*b se 所以(a*b)=b1*a成立 16
16 10.1 群的定义及性质 2）证明： (a*b)*(b-1 *a-1) =a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=e (b-1*a-1) * (a*b) = b-1*(a-1*a)*b = b-1*b =e 所以(a*b)-1=b-1*a-1成立
)10.1群的定义及性质 豪 口定理:设<G*>是群则ya,bc∈G ①如a*b=a米c则b=c ②如b*a=c*a则b=c 证明:(1)群中的每一个元素都有逆元,因此只 要两边同左乘a1即可得证。 (2)同理可证。 口注:如果a*b=c*a未必得到b=c,而只能 知道b=a1米c*a,因为*不一定满足交换律 17
17 10.1 群的定义及性质 ❑ 定理：设<G,*>是群,则a,b,cG ① 如a*b=a*c 则b=c ② 如b*a=c*a 则b=c 证明: (1)群中的每一个元素都有逆元，因此只 要两边同左乘a-1 ,即可得证。 (2)同理可证。 ❑ 注：如果a*b=c*a,未必得到b=c，而只能 知道b=a-1*c*a，因为*不一定满足交换律