)10.1群的定义及性质 豪 口例:给定<N,+>和<N4+4 ☆g:N→N4,g(a)=amod4 令g是半群同态,且是满同态 证明 g(+b) =(a+b mod 4 =a mod 4ta b mod 4 一一→ g(a)+4g(b) 8
8 10.1 群的定义及性质 ❑例：给定<N,+>和<N4 ,+4> ❖g: N→N4 , g(a)=a mod 4 ❖g是半群同态，且是满同态 证明： g(a+b) =(a+b) mod 4 =a mod 4 +4 b mod 4 =g(a) +4 g(b) 3 2 1 0 3 2 1 0 ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ → M M M M
10,1群的定义及性质 豪 口群<G,>:<G,>为独异点,并且 令每个元素都有逆元 口例: ☆<Z+>是群,幺元是0,逆元是相反数 令<Mn(R)>,·为矩阵乘法运算 存在幺元是单位矩阵In 不是群,逆矩阵不一定存在 <Mn(R)>为群 Sn(R)=所有可逆矩阵的全体
9 10.1 群的定义及性质 ❑群<G,*> ： <G,*>为独异点, 并且 ❖每个元素都有逆元 ❑例： ❖ <Z,+>是群,幺元是0,逆元是相反数 ❖ <Mn(R),•>，•为矩阵乘法运算 • 存在幺元是单位矩阵n • 不是群,逆矩阵不一定存在 ❖<Mn(R),•> 为群 • Sn(R)=所有可逆矩阵的全体
)10.1群的定义及性质 豪 口<N6+6>为群其中N={012345 令幺元是0 1+5=02+4=03+3=0 口<P(A)G>为群 ☆VB∈P(A)Be=AB=B ☆B④B= 10
10 10.1 群的定义及性质 ❑ <N6 ,+6>为群,其中N6={0,1,2,3,4,5} ❖幺元是0 ❖1+65=0,2+64=0,3+63=0 ❑<P(A),>为群 ❖BP(A),B=B=B ❖BB=
)10.1群的定义及性质 豪 口例:四元群,设G={e,a,b,}运算*表如下 eabc eeabc aaecb cea ccbae ☆e为单位元 令G中运算是可交换的 令每个元素都有逆元
11 10.1 群的定义及性质 ❑例：四元群，设G={e,a,b,c}运算*表如下 ❖e为单位元 ❖G中运算是可交换的 ❖每个元素都有逆元 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
)10.1群的定义及性质 豪 口群论中一些重要的概念 令有限群G:G为有限集 无限群G:G为无限集 群G的阶:G的基数 平凡群:只含单位元的群 ☆交换群(阿贝尔群):G中的二元运算是可交换的 口例: <Z+>为无限群 令<Zn⊕>是有限群,阶数为n 令<{0}+>是平凡群 12
12 10.1 群的定义及性质 ❑群论中一些重要的概念 ❖有限群G：G为有限集 ❖无限群G：G为无限集 ❖群G的阶：G的基数 ❖平凡群：只含单位元的群 ❖交换群(阿贝尔群)：G中的二元运算是可交换的 ❑例： ❖<Z,+>为无限群 ❖<Zn,>是有限群, 阶数为n ❖<{0},+>是平凡群