)10.1群的定义及性质 豪 口例:设G为群,a,b∈G,且(ab)2=a2b2 证明ab=ba 证:(ab)2=(ab)(ab) =ababa b2=aabb 因为群的运算满足消去律,所以有 absba 18
18 10.1 群的定义及性质 ❑ 例：设G为群，a,b∈G，且 (ab)2=a2 b2 证明ab=ba 证： (ab)2=(ab)(ab) =abab=a2 b2=aabb 因为群的运算满足消去律，所以有 ab=ba
)10.1群的定义及性质 豪 口定理:设G为群,a∈G,|a|=r。对整数k ①ak=e当且仅当k是r的整数倍 ②|a1|=|a1 证:①充分性:由于k是r的整数倍,必存在整数m使 得k=mr,所以有ak=amr=(a)m=e。 必要性:存在整数m和i,使得k=mr+i,从而有 e= amr+ls amr al= a 因为a的阶是r,并且0≤i≤r-1 所以i=0。则k是r的整数倍 19
19 10.1 群的定义及性质 ❑ 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k ① ak=e 当且仅当 k是r的整数倍 ② |a-1 | =| a1 | 证：①充分性: 由于k是r的整数倍，必存在整数m使 得k=mr, 所以有ak= amr= (ar)m= e。 必要性: 存在整数m和i，使得k=mr+i, 从而有 e＝ amr+i= amr ai= ai 因为a的阶是r，并且0≤i≤r-1 所以i＝0。则k是r的整数倍
)10.1群的定义及性质 豪 口定理:设G为群,a∈G,|a|=r。对整数k ①ak=e当且仅当k是n的整数倍 证:②由于(a1)r=(a)1=e1=e。可知a1 的阶是存在的。 令|a1|=t,根据前面证明有r是t的整数倍。 而a又是a1的逆元,所以a的阶也是a1的阶的因 子,故有t是r的整数倍。 从而证明了rt,即|a1|=|a 20
20 10.1 群的定义及性质 ❑ 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k ① ak=e 当且仅当 k是n的整数倍 ② |a-1| =|a| 证：②由于(a-1 ) r = (ar ) -1 = e-1 = e。可知a-1 的阶是存在的。 令| a-1 | =t，根据前面证明有r是t的整数倍。 而a又是a-1的逆元，所以a的阶也是a-1的阶的因 子，故有t是r的整数倍。 从而证明了r=t，即|a-1 | =|a|
)10.1群的定义及性质 豪 口例:设G为有限群,则G中阶大于2的元素有 偶数个 证:由前面定理,对任意a∈G a2=eca-la2:a-lesasa-1 故G中阶大于2的元素a,必有 afa-1 由于|a|=|a4|,故G中阶大于2的元素成对出 现 21
21 10.1 群的定义及性质 ❑ 例：设G为有限群，则G中阶大于2的元素有 偶数个 证：由前面定理，对任意aG a2=ea-1a2=a-1ea=a-1 故G中阶大于2的元素a, 必有 a≠a-1 由于|a|=|a-1|，故G中阶大于2的元素成对出 现
第十章:群与环 豪 第一节:群的定义及性质 第二节:子群与群的陪集分解 第三节:循环群与置换群 22
22 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群