(k1O-m1)1+k12=0 为了得到Y1、Y2的非零解, k211+(k2-O2m2)2=0应使系数行列式=0 展开是o2的二次方程,解得o D=--m 12,=0两个根为 22 1(k,k k12k2 2 2 21m2 可以证明这两个根都是正根 因为D=0,两个振型方程式线性相关的,不能求出振幅的值, 只能求出其比值 求与o1相应的第一振型:与02相应的第二振型 12 k 12 k 1k11-01m 21 22k12m1 12
振型计算公式 12 频率计算公式 频率方程 ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1 = + = + y t Y t y t Y t 0 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 + + = + + = m y k y k y m y k y k y .. 振型方程 .. ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 2 11 + − = − + = k Y k m Y k m Y k Y 为了得到Y1、Y2的非零解， 应使系数行列式=0 0 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D 展开是ω2的二次方程，解得ω2 两个根为： 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1,2 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − + = + 可以证明这两个根都是正根。 与ω2相应的第二振型： 1 2 11 2 12 22 12 k m k Y Y − =− 因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求与ω1相应的第一振型： 1 2 11 1 12 21 11 k m k Y Y − =−
求与o1相应的第一振型:与o2相应的第二振型: 12 12m 2 21 22 11-02m1 几点注意:(P 26 ①p1p2必具有相反的 ②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数,自振 频率由特征方程求出。 ③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度 体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式 ④自振频率和主振型是体系本身的固有特性 多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是:初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应在这种特定的初始条件下出现的 振动,在数学上称为微分方程组的特解,其线性组合即一般解 般解:()=AH1sim(O1+a1)+A2Y12smn(O2+2) y2(t=AY21sin(@t+a1+A2Y22sin(o2ta2)14
14 与ω2相应的第二振型： 2 1 2 11 2 12 22 12 = − =− k m k Y Y 求与ω1相应的第一振型： 1 1 2 11 1 12 21 11 = − =− k m k Y Y 多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应。 ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 = + + + = + + + y t AY t A Y t y t A Y t A Y t 几点注意：（P26） ①ρ1ρ2必具有相反的符号。 ②多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振 频率由特征方程求出。 ③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度 体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 ④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。 一般解： 在这种特定的初始条件下出现的 振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解
例17 1(k1k 1 kk k1k2-k2k21=2 O1,= 12 ×22+ +-22 h1, nm k k 12 解:求刚度系数:k1=k1+k2,k21=-k2,k2=k2,k12=-k2 代入频率方程:(+mm2-甲m2)2=0 1)当m1=m2=m,k1=k2 2k-,0 入+Bmk2=0 21 3√5k O =0.38197 1=061803√‰ 3+√5k k =261803 O2=161803√%m 16
16 例17-4： m2 m1 k2 k1 质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2 k21 k11 1 解：求刚度系数：k11=k1+k2 , k21 =－k2 , k22 k12 1 k22=k2 , k12 =－k2 0 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D ( )( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 k1 +k2 − m k − m −k = 1)当m1=m2=m,k1=k2=k m k m k 2.61803 2 2 3 5 2 = + = m k m k 0.38197 2 2 3 5 1 = − = (2k m)(k m) k 0 2 2 2 − − − = m k m k 1.61803 0.61803 2 1 = = 代入频率方程： 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1,2 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − + = + +
求振型 k1 12 k 1→第一主振型: 21k1012m12k-038197k1618 k O2→第二主振型: 22 2k-2.61803k0.618 Y21=1.618 Y2=-0.618 第一主振型 第二主振型
17 1)当m1=m2=m,k11=2k，k12 =－ｋ m k m k 2.61803 2 2 3 5 2 = + = m k m k 0.38197 2 2 3 5 1 = − = 求振型： 1.618 1 2 0.38197 = − − =− k k k 12 k 1 2 k11−1 m − 21 11 Y Y = ω1→第一主振型： Y21=1.618 Y11=1 第一主振型 0.618 1 2 2.61803 − = − − =− k k k 12 k 1 2 k11−2 m − 22 12 Y Y = ω2→第二主振型： Y22=－0.618 Y11=1 第二主振型
特征方程:(k1+k2-O2m1)(k2-02m2)k2=0 2)当m1=m2,k1=m2[(n+1)k2-O2mn2]k2-02m2)-k2=0 k1=(1+n)k2,k12=-k2 求频率: 2+ n nm 求振型 (n+1)k k =(n+1)-(m++1n+14)=±n+ 4 如n=90时 ±第一振型2=10第二振型: 12 22 ku k22 k, k22-k12k2r 0122小7m2 2(m1m2 1112
18 ( )( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 k1 +k2 − m k − m −k = 2)当m1=nm2 , k1=nk2 k11 =（1+n）k2，k12 =－k2 [( 1) ]( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 n+ k2 − nm k − m −k = 求频率： 求振型： 如n=90时 1 10 11 21 = Y Y 1 9 12 22 =− Y Y 当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应） 2 19 2 1 1 2 = Y Y 第一振型： 第二振型： 特征方程： 2 2 2 2 1 4 1 2 2 1 1 2 m k n n n + = + + 4 1 2 1 ) 4 1 2 1 ( 1) ( ( 1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 = + − + + = + − + − = − − = − n n n n k n k nm k k m Y Y + 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1,2 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − + = + +