「*§15.6一般多自由度的体系的自由振动 动平衡方程:my1+F=0( r应满足刚度方程r=k1+k2y2+…+kmyn (i=1,2,…,n) k是结构的刚度系数,使点产生单位位移(其它点位移为零) 时在点所需施加的力
19 y1 yi yn ri 动平衡方程： ri y1 yi yn ri 应满足刚度方程 ... ( 1,2,..., ) ri = ki1 y1 + ki2 y2 + + ki n yn i = n kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。 i i m y .. m y r 0 (i 1,2,......,n) i i + i = = .. *§15.6 一般多自由度的体系的自由振动
1y2+r=0 (i=1,2,,n) r=kyi+k +k in. n (i=1,2,…,n) 1…k1k 0 k, k 2 k 或:[M]{+[K]{y}={0} 设解为: =rsin(at+a) =-orsin( ot +a) 得振幅方程:([K一02[M){Y}={0} 得频率方程:|[-02[M|=0可求出n个频率 与o;相应的主振型向量由([K-o21[M){Y()}={0} 不过只能确定主振型的形状,而不能唯一地确定它的振幅。x 标准化主振型:令Y1=1,或最大元素=1等
20 ... 0 ...................................................... ... 0 ... 0 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 + + + + = + + + + = + + + + = n n n n n n n n n n n m y k y k y k y m y k y k y k y m y k y k y k y .. .. .. ... ( 1,2,..., ) ri = ki1 y1 + ki2 y2 + + ki n yn i = n 或： 设解为： {y}={Y}sin(ωt+α) 得振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 得频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 可求出ｎ个频率 与ωｉ相应的主振型向量由 ( [K]－ω2 ｉ [M] ){Y（ｉ）}=｛0｝ 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。 { } { }sin( ) 2 y = − Y t + .. m y r 0 (i 1,2,...,n) i i + i = = .. [M ]{y}+[K]{y} ={0} .. = + 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n y y y k k k k k k k k k y y y m m m .. ..
例17-5:质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图, k3=k5 k31=0 k2=-/5 k21=-k/3 8k/15 3=-k5 2m B1=4k 12 k/3 0 解:1)求刚度系数:刚度矩阵〖K]和质量矩阵M 20-50 200 k [K]」 58-3|[M/=m010 15 0-33 001
21 例17-5：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。 k11=4k/3 解：1）求刚度系数： m 2m m k 3 k 5 k k21 =-k/3 k31=0 k12 =-k/3 k22=8k/15 k32 =-k/5 1 k13=0 k23 =-k/5 k33 =k/5 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]： = − − − − = 0 0 1 0 1 0 2 0 0 [ ] 0 3 3 5 8 3 20 5 0 15 [ ] M m k K 1 1
2)求频率:代入频率方程:|[K-02[M|=0 20-27-501 15m2 58 3 Y;}=0 2 k 33 展开得:2n3-42m2+225m-225=0 解得:n1=1.293,n2=6680,3=13.027 k k O12=0.0862 2=0.4453 O3=0.8685 O,=0.2936 =0.6673 3=0019,/4 3)求主振型:振型方程:(-m2[M){Y}=0的后两式: (令Y3=1) 5Y1+(8-n1)Y2;-3=0 a 3Y2x+(3-7)=0 22
22 15 2 0 , 0 3 3 5 8 3 20 2 5 0 15 k k m = = − − − − − − − 其中 展开得：2η 3－42η 2＋225η－225＝0 解得：η1 =1.293， η2 =6.680， η3 =13.027 m k 0.0862 2 1 = m k 0.4453 2 2 = m k 0.8685 2 3 = m k 0.2936 1 = m k 0.6673 2 = m k 0.9319 3 = 2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1） 3 (3 ) 0 5 (8 ) 3 0 2 1 2 − + − = − + − − = i i i i i Y Y Y （a） 0 0 3 3 1 5 8 3 20 2 5 0 2 1 = − − − − − − − i i i i i Y Y
0.163 Y为正时表示质量 1.293 5Y16.70Y21-3=0() m的运动方向与单位 0.569 3Y1+1.707=0 位移方向相同,为负 时,表示与单位位移 5Y方向相反。 0.924 680 5Y12+1.3202-3=0(2 312;1(3-77)=0 1.227 3Y,-3.680=0 2.760 3.342 0.569 3.342 227 0.163 0.924 2.76 23
23 3 (3 ) 0 5 (8 ) 3 0 2 1 2 − + − = − + − − = i i i i i Y Y Y 3 1.707 0 5 6.70 3 0 2 1 1 1.293 1 1 2 1 − + = − + − = ⎯⎯⎯→ = Y Y Y = 1 0.569 0.163 (1) Y 3 3.680 0 5 1.320 3 0 2 2 2 6.680 1 2 2 2 − − = − + − = ⎯⎯⎯→ = Y Y Y − − = 1 1.227 0.924 (2) Y 3 10.027 0 5 5.027 3 0 2 1 3 1 3.027 1 3 2 3 − − = − − − = ⎯⎯⎯→ = Y Y Y = − 1 3.342 2.760 (1) Y 1 0.569 0.163 1 1.227 0.924 1 3.342 2.76 Yij为正时表示质量 mi的运动方向与单位 位移方向相同，为负 时，表示与单位位移 方向相反