加法满足下列四条规则：Vα,β,Vα+β=β+α1)(α+β)+=α+(β+)VαV,有 α+0=α在V中有一个元素0,3（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α+β=0；（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：@ 1α=α@ k(lα) = (kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则：(k+l)α=kα+lα③ k(α+β)=kα+kβ
加法满足下列四条规则： ① ⑤ 1 ⑥ k l kl ( ) ( ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ( ) ( ) ⑧ k k k ( ) , , V ④ 对 V, 都有V中的一个元素β ，使得 0 ;（β 称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0， V, 0 有
由线性空间定义(Vp,+,)有1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算2.线性空间中的元素也称为向量，但这里的向量不一定是有序数组，3.线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间
3.线性空间的判定： 1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2.线性空间中的元素也称为向量，但这里的 向量不一定是有序数组． 称为线性运算． 就不能构成线性空间． 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 由线性空间定义 VP （ ,+,）有
二、 例子例1引例1和2中的 Pn，P[刘均为数域 P上的线性空间例2 数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[刘],表示P[xl, =(f(x) = an--x"- +...+ajx+ aol an-1,,ai,ao e P)例3数域P上mx矩阵的全体作成的集合，按矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间用pmxn表示
例1引例1和2中的 P n , P[x]均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于n的多项式的全体，再添 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 1 1 1 0 1 1 0 [ ] { ( ) , , , } n P x f x a x a x a a a a P n n n 例3 数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 用 表示． m n P 二、例子
例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间例5 全体正实数R+，1）加法与数量乘法定义为：Va,bεR+,Vk RFkoα=αα④ b = logaVa,beR+,VkeR2）加法与数量乘法定义为：koα=αkα④b=ab判断R+是否构成实数域 R上的线性空间：
例5 全体正实数R＋ ， logb a b a k k a a a b ab k k a a 判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 1) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , 2) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , , 例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
解：1）R+不构成实数域R上的线性空间2④==log =-1@ R+,④不封闭，如22）R+构成实数域R上的线性空间首先，R+≠の，且加法和数量乘法对R+是封闭的事实上,Va,beRt,a④b=abR,且 ab唯一确定;VaR,VkεR,koa=aεR,且ak 唯一确定.其次，加法和数量乘法满足下列算律@ a④b=ab=ba=b④a② (a④ b)甲c = (ab)甲c = (ab)c= a(bc) =a甲(bc)=a(bc)
1）R＋不构成实数域R上的线性空间. ⊕不封闭，如 1 2 2 1 2 log 1 2 R＋． 2) R＋构成实数域R上的线性空间． 首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的. , , k a R k R k a a R ,且 a k 唯一确定． 解： a b R a b ab R , , 事实上, ,且 ab 唯一确定； 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ② ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c ab c ab c a bc a bc a b c ① a b ab ba b a