例6令 V=(f(A)|f(x) R[xl,A R"xn)即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知f(A) + g(A) = h(A), kf(A) =d(A)其中 k e R, h(x),d(x)e R[x]又V中含有A的零多项式，即零矩阵0为V的零元素以f(x）的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为一f(x)，则 f(A)有负元素一f(A).由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间
即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 例6 令 ( ) ( ) [ ], n n V f A f x R x A R 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知 f A g A h A kf A d A ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 其中 k R h x d x R x , ( ), ( ) [ ] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0为V的零元素. 以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x),则 f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数 乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间
线性空间的简单性质二、纟1.零元素是唯一的证明：假设线性空间V有两个零元素01、0,，则有0,=01十02=022.VαE的负元素是唯一的，记为-α.证明：假设α有两个负元素β、，则有α+β=0,α+=0β=β+0=β+(α+)=(β+α)+=(α+β)+=0+=利用负元素，我们定义减法：α-β=α+(-β)
1.零元素是唯一的. 2. V ，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有 ◇利用负元素，我们定义减法： 01 ＝01＋02 ＝02． 证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 0 ( ) ( ) ( ) 0 0, 0 ( ) 二、线性空间的简单性质
3. 0α =0, k0 = 0, (-1)α =-α,k(α-β)=kα-kβ证明：由 0α+α=(0+1)α=α,两边加上-α 即得 0 0;由 kα=k(α+O)=kα+k0两边加上 -kα；即得k 0=0由 α+(-lα) =lα+(-lα) =(1-1)α= 0α =0两边加上一α即得(-1)α=-α;由k(α-β)+kβ=k(α-β+β)=kα两边加上-kβ即得 k(α-β)=kα-kβ
两边加上 即得 0 ＝0； 由 k k k k ( 0) 0 两边加上 k ；即得k 0＝0 ; 由 ( 1 ) 1 ( 1 ) (1 1) 0 0 两边加上－ 即得 ( 1) ; 由 k k k k ( ) ( ) 两边加上 k 即得 k k k ( ) . 0 0, 0 0, ( 1) , ( ) k k k k 3. 证明：由 0 (0 1) ,
leR+,a④l=al=a，Vα R+，即1是零元;3)VaeR+,eR+, 且a由}=a-4=aa即α的负元素是-③loa=a=a; VaER+;③ko(loa)=koa =(a')* =alk =ak =(kl)oa;①(k+l)oa=ak+ = a'a' =a* ④a' =(koa)(loa)③ ko(a@b) = k o(ab) =(ab)* = a*bk = a @bk=(koa)@(kob);故R+构成实数域R上的线性空间
③ 1 R＋ ， a a a 1 1 , a R＋ ，即1是零元； ④ a R＋ ， 1 a R＋ ，且 1 1 a a 1 a a 即 a 的负元素是 ； 1 a ⑤ 1 1 a a a ; a R＋； ⑥ ( ) ( ) ( ) l l k l k kl k l a k a a a a kl a ; ( ) ( ) ( ) k l k l k l k l a a a a a a k a l a ⑦ ⑧ ( ) ( ) ( )k k k k k k a b k ab ab a b a b 故R＋构成实数域 R上的线性空间． ( ) ( ) k a k b ;
三、简单性质1、零元素是唯一的证明：假设线性空间V有两个零元素01、0，则有01=01+02=022、VαεV，的负元素是唯一的，记为-证明：假设α有两个负元素β、Y，则有α+β=0,α+=0β=β+0=β+(α+)=(β+α)+=(α+β)+=0+=α-β=α+(-β)√利用负元素，我们定义减法
1、零元素是唯一的. 2、 ，的负元素是唯一的，记为- ． V 证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有 ◇利用负元素，我们定义减法 01 ＝01＋02 ＝02． 证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 0 ( ) ( ) ( ) 0 0, 0 ( ) 三、简单性质