第1章定积分6则对[a，的任一分划△可得（lfl）≤w（f）从而又有Z(IfIAiV()A≤Zw;(f)Ar;.(b-a)7fe由此即得所证例1.1.6设f()在[a，b]上定义的有界函数.若对任给8>0,均有fER([a+o,b]),则fER(La,b])证明对任给>0,>0,取8>0，使得</2.对区间[a十1，]，因为f(α）在其上可积，所以可作分划△，使得具有:（f)≥s的子区间总长小于/2.从而再作[a，b]上的分划△：的分点再加分点co=a.易知在[a，b]的子区间中，使其上的（f）≥的子区间总长小于/2十/2一g.证毕例1.1.7试证明下列函数在[0，1]上是可积的ro,r=0,(1) f(r):1-[]x0.2是无理数，r0；O,(2) R()=（Riemann函数）1=，与是互素正整数(qq证明（1）对任给e>0,取正整数no：1/n<e/2（n>no），并作分划11A:0=<n+i<α…=no1<+…"n<…an-=1,使得一xi-<e/4n（2）.从而有22101+Z(MS()-S(f)（M-m)(--）-m)(-x-)+no+1-2k-01n+<号 + 2no 4no=即得所证.(2）对任给e>0,>0,易知在[0,1]中满足一>)的有理数(与q是互素的正整数)只有有限个，不妨记为r1,r2，，r（k=k(e))现在，可作[0,1]的分划△，满足△<%，且使得上述k个有理数均含于小区间的内部.此时，若分划△中的小区间不含有r（i=1,2，"，k），则f（）在其上的振幅为1—0<e，而使f(r)在其上振幅大于e的子区间必是含有r(i=1,2，，q
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质)的小区间，这样的小区间至多有个，其长度总和小于<·即得所证。例1.1.8设fEC([0,1))且f(）>0(0≤≤1),则1/≤elw≤(a)ds,证明易知题式中的定积分均存在，故对[0，1]作分划△：(k = 0,1,2,,n).0=x<<<=1,Xk/n应用几何-算术不等式，可知1-≤eCinf(I()++,)= /f(α).. (x,)<f(α) ++ f(r,)n令n-→o，结论立即得证.1.1.3可积函数的初等性质性质1.1.1若f(z)=[(a<r<b),则f(r)dr = l(b-a)性质1.1.2（积分的线性性）（i）设fER(La，b]），gER(La，b])，则f+gER(La,6])，且有['Lf(r) + g(r)]dr = I's(r)dr +f'g(a)dr.(ii）设fER(La,b)，c是常数，则cfER(La,b])，且有Lef(a)dr=cf(r)d性质1.1.3（积分的保序性）若fER（La，6)，gER（La,bJ)，且有f(α）≤g（），xE[a,b],则f(r)dr≤g(r)dr性质1.1.4（积分区间的可加性）设a<c<b,则fER(La，bJ)的充分必要条件是fER(La,c)以及fER(Le,b).此时有f()da=f()d+f()dr(*)注实际上，只要式（*）中的三个积分都存在，那么不论α，6与c的大小次序如何，式（*）总成立，例如对c<b<a的情形，因为我们有等式'f(a)da+f,f(x)dz =['f(a)da =-Jr(a)dz,所以由移项可知Jf(r)dr+f'f(r)dr =-f,f(a)dx = J'f(r)dr性质1.1.5设f()是[a,b)上的非负连续函数，若有f()dx=0,则f(z)=0.性质1.1.6（绝对值的可积性）若fER(La,b])，则|f(z）|在[a，b]上可积，且有
第1章定积分8I'f(a)dx ≤f1f(a)/ dr.注1f()|在[a,]上的可积性推不出f(x)在[a,]上的可积性性质1.1.7（乘积可积性）设fERLa，b])，gER(La，b])，则·gER([ab])性质1.1.8（复合函数的可积性）设fER(La，b])，且有m≤f()≤MrE[a，)；设EC([m，M))，则复合函数gLf(a)]在[a,b]上可积(证明见例1.1.10).注记R(α)是[0,1]上的Riemann函数，又定义g(0)=0,(r)=1(0<<1)，则复合函数g[R()]在[0,1]不可积.进一步记Q=(rn),G=（r—2",ra+2"),E=[0,1]\G,并作函数f(r)= inf(lr-yl,yEE).易知，fEC([o,1])（实际上属于Lip1).又作函数X=0,了1,g(a)=1o.工0，则)]在[0,1]上不可积例1.1.9设fER([a,b])(k=1,2,,m),则[(J'f(r)der)+. +(f'fm(a)da)""≤"Fi(a)+..+f()dz.证明分割[a，b区间：=a十k（b—a)/n(k0,1,2，，n），作积分和式估计[()-(([()-([2() ()]n?()()n?(b-a)24() .·2/24(a)n?Zf() b-a0令n-，即得所证例1.1.10试证明下列命题：（1）设fEC(（一00,8)）,且是以2元为周期的函数,令.F(r)=1*f(t)f(t+a)dt则 FEC((-00,00)).(2)设f(r)是（一8,8)上以T为周期的连续函数，令F(α）=f(t)dt，则
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质F(α)可表为F(r)=()十kr其中(）是以T为周期的连续函数证明（1）易知F(）是以2元为周期的函数.因为f(）在（0080）上一致连续，所以对任给>0，存在>0，使得M=|[" I f(t) I dt.If(u+)-(u)]<(I/<8),因此我们有[F(r+Ar)-F()[[ f(t)f(t++Ar)da-[f(t)f(t+a)dtI f(t) I/ f(t++△x).-f(t+x)/ dt≤, f() [ de,1 Ax /<0.证毕，(2)考察函数()=F()一k,我们有p(r+ T) =f f(t)dt -kr + ff(t)dt-kT=p(r)+[f(t)dt - kT=g(r)+F(T)-kT从而令，即可得证。T例1.1.11试证明下列命题(1)设fER([0,1),且有等式f(α)="+号[f()dr，则f()=2+1/3.(2)设fEC([a,b]),且有["f(r)dr= 0,则" f2(r)dz≤mM(b-a),其中mintf(r)),M=maxf(r)).m=(3)设f(r)是[0,1]上的递减函数,0<α<1,则αf(α)dr≤/f(r)dr.证明（1）记A=f(r)dx，并在f(r)=r+A/2两端作[0,1]上的定积分，则得dr=+A=I'f(r)dr =adr+32从而有A=2/3，由此可知f(）一+1/3.(2）注意到mf(r)da=0=Mf(a)dx，因此有
第1章定积分10[" f(r)dz-mM(b-a) f'Ef(r) -mMJdz[f(a)+mJf() -Mdx['Lf(z) -(-m)f(x) -M)dz≤0.(3) 易知’f()dz≤(a)≤,f(z)dz,从而有αf'f(r)dr≤(1-α)/" f(r)da =["f(x)dr-af, f(a)dr.移项即可得证例1.1.12试证明下列积分不等式：(1)（Cauchy-Schwarz不等式）设fER(Ea,b])，gER([a,b]),则'f(a)g(a)da≤f"1 f(x)g(a) /dz≤(J'f()da)*(I'g*(r)de)t.(*)(2)设fEC([0,I),0≤f(α)<1,则f,f(z)/[1-f(r)]da ≥J f(a)da/[1-J,f(r)dr ](3) 设f,gER([a,b]),且mi≤f(r)≤Mi,m2≤g(r)<M2,则111Jg()g(a)dz-(6-aJg(a)d Jg(a)drb-<(M -m)(Mz -m2) /4.证明（1）首先，易知公式左、右端积分均存在.其次，记A=f"f2(r)dr, B=["I f(x)g(α)ldr, C=g"(r)dr并考察积分['[tl f(r)]- Ig(α) ]"dr = At2 -- 2B +C.因为上式对-切tE（一0,o)皆非负，所以必有4B?≤4AC或B≤AC.由此即知公式（*）成立。注若f,gEC([a,b]),则式(*)中等号成立当且仅当f(r)=cg(α).(2）易知f(α)dr<1(否则f(r）=1)，我们有["f(a)dr≤f VF(a)d (JVf() da)-(%@) ()-]dz