定义14.5.1设 a(x,y,2)=P(x,y,z)i+O(x,y,z)j+R(x, y, z)k (x,y,z)∈g 是一个向量场,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在2上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 o=ll adS 为向量场a沿指定侧通过曲面〗通量。 设M为这个场中任一点。称 P OR (M)+-(M)+(M) 为向量场a在M点的散度,记为dia(M)。 由上面的流体例子可知道,如果dⅳa(M)大于零,则称在M点处 有正源(源);如果dva(M)小于零,则称在M点处有负源(汇);如 果diva(M)=0,则称在M点处无源。如果在场中每一点都成立dra=0, 则称a为无源场
由上面的流体例子可知道，如果diva(M )大于零，则称在 M 点处 有正源（源）；如果diva(M )小于零，则称在 M 点处有负源（汇）；如 果diva(M ) =0，则称在 M 点处无源。如果在场中每一点都成立diva = 0， 则称a为无源场。 定义 14.5.1 设 a i j k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) x y z P x y z Q x y z R x y z x y z = + + 是一个向量场，P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)在上具有连续偏导数。 为场中的定向曲面，称曲面积分 d = a S 为向量场a沿指定侧通过曲面的通量。 设 M 为这个场中任一点。称 ( ) ( ) (M ) z R M y Q M x P + + 为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M )
定理14.5.1a的散度是通量关于体积的变化率,即 a·dS diva(m)= lim y→Mm 换句话说,散度就是穿出单位体积边界的通量 由向量场a产生的数量场dwa称为散度场。 利用散度的记号, Gauss公式就可写成如下形式: divan=‖a·dS。 09
定理 14.5.1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即 d div ( ) limM M m → = V a S a V 。 换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量。 由向量场a产生的数量场diva称为散度场。 利用散度的记号，Gauss 公式就可写成如下形式： div d d V = a a S
向量线 设 a(x,y, z)=P(x,y, z)i+O(,y,z)j+R(x,y, z)k, (x,y,z)∈ 为向量场,/为g中的一条曲线。若厂上的每一点处的切线方向都与 场向量在该点的方向一致,则称/为向量场a的向量线。静电场中的 电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子
向量线 设 a i j k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) x y z P x y z Q x y z R x y z x y z = + + 为向量场，为 中的一条曲线。若上的每一点处的切线方向都与 场向量在该点的方向一致，则称为向量场a的向量线。静电场中的 电力线、磁场中的磁力线等都是向量线的实际例子
设M(x,y,x)为向量线上任一点,则其矢量方程为 r=xi+yi+zk, 那么 dr= dxi+dyj+dEk 就是向量线在M点处的切向量。由定义,它与在M点处的场向量共 线,因此 d dz = P(x,y, 2)Q(x,y,2) R(,y, 2) 这就是向量线所满足的方程,如果解出它的话,一般就得到向量线族。 如果再利用过M点这个条件,就得到过M点的向量线。一般来说, 向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它,向量线族充满了向 量场所在的空间
设 M(x, y,z)为向量线上任一点，则其矢量方程为 r = xi + yj + zk， 那么 d d d d r i j k = + + x y z 就是向量线在 M 点处的切向量。由定义，它与在 M 点处的场向量共 线，因此 d d d ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z P x y z Q x y z R x y z = = 。 这就是向量线所满足的方程，如果解出它的话，一般就得到向量线族。 如果再利用过 M 点这个条件，就得到过 M 点的向量线。一般来说， 向量场中每一点有一条且仅有一条向量线通过它，向量线族充满了向 量场所在的空间
例14.5.1由电磁学中的 Coulomb定律,在位于原点的点电荷q (这里q表示电荷大小)所产生的静电场中,任何一点M(x,y2)处的 电场强度为 E 4πE。r 其中r=√x2+y2+z2为点M到原点的距离,r=x+y+k,E为真空 介电常数
例 14.5.1 由电磁学中的 Coulomb 定律，在位于原点的点电荷 q （这里q 表示电荷大小）所产生的静电场中，任何一点 M(x, y,z)处的 电场强度为 3 0 4π q r E r = ， 其中 2 2 2 r = x + y + z 为点 M 到原点的距离，r = xi + yj + zk， 0为真空 介电常数