通量与散度 设Ω上稳定流动的不可压缩流体(假定其密度为1)的速度场为 ν=v2(x,y,z)i+v,(x,y,)j+v(x,y,)k, 其中v,,v:具有连续偏导数。设是2中的一片定向曲面,则单位时 间内通过Σ流向指定侧的流量为 D=[V2(x, y, =dyd=+v, (x, y, =)ddx +v(x, J, =)drdy=[v- nds=[vds 其中n= COS aL+cosB+ cosy为上在(x,y)处的、在指定侧的单位法向 量
通量与散度 设上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为 v = vx (x, y,z)i + vy (x, y,z) j + vz (x, y,z)k ， 其中 x y z v , v , v 具有连续偏导数。设是中的一片定向曲面，则单位时 间内通过流向指定侧的流量为 ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d d x y z v x y z y z v x y z z x v x y z x y S = + + = v n d = v S， 其中 n = cosi + cos j + cos k 为在(x, y,z)处的、在指定侧的单位法向 量
显然,Φ>0说明向指定侧穿过曲面∑的流量多于向相反方向穿 过曲面Σ的流量;Φ<0说明向指定侧穿过曲面∑的流量少于向相反 方向穿过曲面Σ的流量;Φ=0说明向指定侧穿过曲面Σ的流量等于 向相反方向穿过曲面∑的流量。 如果∑为一张封闭曲面,定向为外侧。那么④>0说明从曲面内 的流出量大于流入量,此时在∑内必有产生流体的源头(源);Φ<0 说明从曲面内的流出量小于流入量,此时在Σ内必有排泄流体的漏 洞(汇)
显然， 0 说明向指定侧穿过曲面 的流量多于向相反方向穿 过曲面 的流量； 0说明向指定侧穿过曲面 的流量少于向相反 方向穿过曲面 的流量； = 0说明向指定侧穿过曲面 的流量等于 向相反方向穿过曲面 的流量。 如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）
要判断场中一点M(x,y,z)是否为源或汇,以及源的“强弱”或汇 的“大小”,可以作一张包含M的封闭曲面∑(定向为外侧),考察∑ 所围区域收缩到M点时(记为P→M),①=νds的值。但因为 V→M时有d→0,所以考虑 v·dS Im =im →MmW→Mm (mv为v的体积)。由 Gauss公式,并利用积分中值定理, =』vds= JJv.dyds+d+dy O av dxrdydz m ax ay a ax ay a 其中M为V上某一点
要判断场中一点M (x, y,z)是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇 的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察 所围区域V 收缩到 M 点时（记为V →M ）， d = v S 的值。但因为 V →M 时有 →0，所以考虑 d lim lim M M m m → → = V V v S V V （mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理， d d d d d d d ddd x y z x x y y z z M v y z v z x v x y v v v v v v x y z m x y z x y z = = + + = + + = + + 。 V v S V 其中 ~ M 为V 上某一点
于是 lim d_lim +a+2c)=(x,y2)+2,(xy=2)+(xy yMmv M-M( ax ayaz +0y az 因此,可以用 x,y,z),",(xy,2),Ov,(x,y,z) 2 来判别场中的点是源还是汇,以及源的“强弱”或汇的“大小
于是 ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim lim x x y y z z M M M M v v x y z v v x y z v v x y z m x y z x y z → → = + + = + + V V 。 因此，可以用 z v x y z y v x y z x v x y z x y z + + ( , , ) ( , , ) ( , , ) 来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小
定义14.5.1设 a(x,y, z)=P(x,y, z)i+O(,y,zj+R(x,y, z)k, (x,y,2)∈ 是一个向量场,P(x,y,z)Q(x,y,z),R(x,y,=)在2上具有连续偏导数。∑ 为场中的定向曲面,称曲面积分 fads 为向量场a沿指定侧通过曲面的通量。 设M为这个场中任一点。称 aP OR (M)+-=(M)+(M x ay 为向量场a在M点的散度,记为dwa(M)
定义 14.5.1 设 a i j k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) x y z P x y z Q x y z R x y z x y z = + + 是一个向量场，P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)在上具有连续偏导数。 为场中的定向曲面，称曲面积分 d = a S 为向量场a沿指定侧通过曲面的通量。 设 M 为这个场中任一点。称 ( ) ( ) (M ) z R M y Q M x P + + 为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M )