加法原理 完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m种方 法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推在第n类方 法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法其中各类方法彼此独立 乘法原理 完成某件事情需先后分成n个步骤做第一步有m种方 法第二步有m2种方法依次类推,第n步有m种方法,则 完成这件事共有N-m1×m2×.×mn种不同的方法特 点是各个步骤连续完成 返回
返回 加法原理 完成某件事情有n类方法,在第一类方法中有m1种方 法,在第二类方法中有m2种方法,依次类推,在第n类方 法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法,其中各类方法彼此独立. 乘法原理 完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方 法,第二步有m2种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则 完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法,特 点是各个步骤连续完成
例如 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各 抽取1件, 1)两件都不是次品的选法有多少种? 2)只有一件次品的选法有多少种? 解(1)用乘法原理,结果为 45·45 45 (2)结合加法原理和乘法原理得选法为: C5C4+CC=2×5×45=450 返回
返回 例如 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各 抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种? 解 (1) 用乘法原理,结果为 1 2 45 1 45 C .C = 45 (2)结合加法原理和乘法原理得选法为: C .C C .C 2 5 45 450 1 5 1 45 1 45 1 5 + = =
例1.1.2箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回 地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率: (1)取到的两个都是次品;(2)取到的两个中正、次 品各一个,(3)取到的两个中至少有一个正品 解设A={取到的两个都是次品},B={取到的两个中正 次品各一个},C={取到的两个中至少有一个正 口口∫ (1)样本点总数为62,事件A包含的样本点数为22 所以P(A)=4/36=1/9 (2)事件B包含的样本点数为4×2+2×4=16, 所以P(B)=16/36=4/9 (3)事件C包好的样本点数为62-2×2=32 思考①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢?
返回 例1.1.2 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回 地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率： （1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次 品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品. 解 设A ={取到的两个都是次品}，B={取到的两个中正、 次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. （1）样本点总数为6 2，事件A包含的样本点数为2 2 ， 所以 P(A)=4/36=1/9 （2）事件B包含的样本点数为4×2+2×4=16， 所以P（B）=16/36=4/9 （3）事件C包好的样本点数为6 2-2×2=32， 思考①若改为无放回地抽取两次呢 所以P(C )=32/36=8/9 ? ②若改为一次抽取两个呢？
3.概率的公理化定义 由于实际问题的不同和处理问题的角度不同有很多计算 随机事件概率的方法但它们都要求具有下面三个基本性 质 设P(A为事件的实函数若P(A满足 ①非负性0<P(A)≤ ②规范性P(Ω)=1,P(q)=0 ③可加性 若A(=1,2,…是两两互不相容的事件组, 即AA=1≠八则P4)=∑P(A) 则称P(A)为概率的公理化定义 返回
返回 设P(A)为事件的实函数,若P(A)满足 ① 非负性 0≤P(A)≤1; ②规范性 P(Ω)=1,P(φ)=0; ③ 可加性 = = = = = 1 1 ( , ), ( ) ( ) ( 1,2, ) , i i i i i j i A A i j P A P A A i 即 则 若 是两两互不相容的事件组 则称P(A)为概率的公理化定义. 3. 概率的公理化定义 由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算 随机事件概率的方法.但它们都要求具有下面三个基本性 质
概率的重要性质 (1)P(q)=0,P(92)=1,逆不一定成立 (2)若AB=,则P(A+BP(A)+P(B),可推广到有限个互斥事 件的情形即:若A,A2,A两两互斥,则 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(A1) 3)P(A-B)=P(A)-P(AB,P(92-A)=1P(A) 若A是B的子事件则P(BA)=P(B)-P(A);P(A)P(B) (4)P(A+B=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形 证明(4)P(+B)=P[A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB) P(A)+P(BP(AB)类似可证其他
返回 概率的重要性质 (1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立. (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事 件的情形.即:若A1 ,A2 ,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An )=P(A1 )+P(A2 )+…+P(An ) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)≤P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形. 证明 (3) A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得 P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB). 证明 (4) P(A+B)=P[A+(B-AB)] =P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB) 类似可证其他