郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答数学（试卷Ⅱ）（本题满分15分）【同数学I、第一题】二、（本题满分14分）()（6分）计算定积分（x+x)e-mdx解:因xe-是奇函数,|xle-是偶函数,故原式=2[1xle-dx=2xe'dx=2-6e-(2)（8分）【同数学I、第二题】三、（本题满分7分）z设函数z=f(u,x,y),u=xe"，其中f有二阶连续偏导数，求axay2-+=f+",解：=fxe'+f'e'+e.f'+fxe'+fasaxaxaxoy四、（本题满分8分）【同数学I、第四题】五、（本题满分12分）【同数学I、第五题六、（本题满分10分）【同数学I、第六题七、（本题满分10分）【同数学I、第七题八、（本题满分10分）【同数学I、第八题】九、（本题满分8分）【同数学I、第九题7十、（本题满分6分）设，为n阶方阵A的特征值，≠，而x，x2分别为对应的特征向量，试证明：X+x不是A的特征向量证：假若x+x是A的特征向量，设其对应的特征值为，则有A(x+）=（x+），即Ax+Ax=+又由题设条件知Ax=，Ax,=2，故有(-)+(-)x=0.因x，x是属于不同特征值的特征向量，所以x,x线性无关，从而=，且=，此与盾！因此+不是A的特征向量1987年·第6页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 6 页 数 学（试卷Ⅱ） 一、（本题满分 15 分）【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、（本题满分 14 分） (1)（6 分）计算定积分 2 | | 2 (| | ) . x x x e dx 解：因 | | x xe 是奇函数， | | | | x x e 是偶函数，故 原式= 2 2 | | 2 0 0 2 | | 2 2 6 . x x x e dx xe dx e (2)（8 分）【 同数学Ⅰ、第二题 】 三、（本题满分 7 分） 设函数 ( , , ), y z f u x y u xe ，其中 f 有二阶连续偏导数，求 2 . z x y 解： 1 2 1 z u y f f f e f x x ， 2 11 13 1 21 23 ( ) z y y y y f xe f e e f f xe f x y . 四、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、（本题满分 12 分）【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、（本题满分 6 分） 设 1 2 , 为 n 阶方阵 A 的特征值， 1 2 ，而 1 2 x , x 分别为对应的特征向量，试证明： 1 2 x x 不是 A 的特征向量. 证：假若 1 2 x x 是 A 的特征向量，设其对应的特征值为 3 ，则有 1 2 3 1 2 A x x x x ( ) ( ) ， 即 Ax Ax x x 1 2 3 1 3 2 . 又由题设条件知 Ax x 1 1 1 ， Ax x 2 2 2 ，故有 1 3 1 2 3 2 ( ) ( ) 0 x x .因 1 2 x , x 是属于不同特征值的特征向量，所以 1 2 x , x 线性无关， 从而 1 3 ，且 1 3 ，此与 1 2 矛盾！因此 1 2 x x 不是 A 的特征向量
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987年数学试题参考解答数学（试卷Ⅲ）填空题（每小题2分，满分10分把答案填在题中横线上）a?a(1)设y=ln(1+ax)，其中a为非零常数，则y=(1 + ax)21 + ax1元-2法线方程是(2）曲线y=arctgo在横坐标为1点处的切线方程是yX+24y=-2x+(元+8)/4(3）积分中值定理的条件是f(x)在闭区间a,b|上连续结论是提供Ee[a,b],使得[f(x)dx=f(E)(b-a(4) lin(n-2)"nti(5) [ r(x)dx= f(x)+c: " s(2x)dx = }f(2b)-:f(2a)二、（本题满分6分）X1求极限 lim(r-0xe-1111-xer-l-xx2= lim解：lim(=lim=limlim322xex-1x(e-1)x-02xx→0 xx-→00三、（本题满分7分）x=5(t-sint)d'ydy设求y= 5(1-cost)dx'dx?dydx5(0+sint)故dysintsint解：因=5-5cost,=5sint.dtdtdxdx5(1-cost)1-cost1-cost1dtd'ydsint日dr25(1-cost)2dt-costdx四、（本题满分8分）xarcsinxdx计算定积分x-元1dx=x arcsin xx arcsin xdx =dx4-2J0J1-x1987年：第7页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答 1987 年 • 第 7 页 数 学（试卷Ⅲ） 一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分. 把答案填在题中横线上） (1) 设 y ln(1 ax) , 其中 a 为非零常数，则 2 2 (1 ) , 1 ax a y ax a y . (2) 曲线 y arctgx 在横坐标为 1 点处的切线方程是 4 2 2 1 y x ； 法线方程是 y 2x ( 8)/ 4 . (3) 积分中值定理的条件是 f x a b ( ) [ , ] 在闭区间 上连续 ，结论是 [ , ], ( ) ( )( ) b a a b f x dx f b a 使得 (4) 2 3 ( ) 1 n n n lin e n . (5) f (x)dx f (x) c ； b a f (2x)dx ＝ (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 f b f a . 二、（本题满分 6 分） 求极限 0 1 1 lim( ) 1 x x x e 解： 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim( ) lim lim lim lim 1 ( 1) 2 2 2 xxx x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x . 三、（本题满分 7 分） 设 5(1 cos ) 5( sin ) y t x t t ，求 2 2 , . dy d y dx dx 解：因 5sin , 5 5cos dy dx t t dt dt ， 5 sin ) sin 5(1 cos 1 cos dy t t dx t t （0+ ） ，故 t t dx dy 1 cos sin ， 且 2 2 2 sin 1 ( ) 1 cos 5(1 cos ) d y d t dt dx dt t dx t 四、（本题满分 8 分） 计算定积分 1 0 x arcsin xdx . 解： 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 2 2 1 1 1 arcsin arcsin 2 2 4 2 1 1 x x x xdx x x dx dx x x