2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 53齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: 若A是m×n矩阵,则 齐次线性方程组Ax=0有非零解分r(4)<n 齐次线性方程组Ax=0只有零解兮系数矩阵A列 满秩 对于一些特殊情况,还有以下几个结论: (1)若A是n阶方阵, 齐次线性方程组Ax=0有非零解兮A=0 (2)若A是m阶方阵,齐次线性方程组Ax=0只 有零解兮→A≠0 (3)若A是mxn矩阵,当m<n时,齐次线性 方程组Ax=0必有非零解 例3齐次线性方程组Ax=0,仅有零解的充分必 要条件是 (4)A的行向量组线性无关; (B)A的行向量组线性相关; (C)A的列向量组线性无关; (D)A的列向量组线性相关
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—6 5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 若 A是m× n矩阵，则 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ r(A) < n． 齐次线性方程组 Ax = 0只有零解⇔系数矩阵 A列 满秩． 对于一些特殊情况，还有以下几个结论： （１）若 A是n阶方阵， 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ A = 0． （２）若 A是n阶方阵，齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解⇔ A ≠ 0． （３）若 A是m× n矩阵，当m < n时，齐次线性 方程组 Ax = 0必有非零解． 例 3 齐次线性方程组 Ax = 0，仅有零解的充分必 要条件是 (A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C) A的列向量组线性无关； (D) A的列向量组线性相关．
2006春季班 戋性代数第5章线性方程组 例4设齐次线性方程组 x1+kx2=0 kx,+x,+5x2=0 x1+x2-x3=0 k为何值时,方程组有非零解? 例5齐次线性方程组 3x1+x,+kr3=0 x1+x2 x,+k,-3y sS 3 2x1-X2+x3 0 当为何值时,只有零解? 54齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质: (1)若51,2是次线性方程组Ax=0的解, 则51与52的和1+2仍是Ax=0的解; (2)若5是齐次线性方程组4x=0的解,则的 任意常数倍k5仍是Ax=0的解 若用S表示齐次线性方程组Ax=0的全体解 向量的集合,则性质1和性质2说明S中任意两个向 量的和在S中,S中任一向量的常数倍也在S中,就
2006 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—7 例4 设齐次线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + + = + = 0 5 0 0 1 2 3 1 2 3 1 3 x x x kx x x x kx ， k 为何值时，方程组有非零解？ 例 5 齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + = + − = + = + + = 2 0 3 0 0 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 x x x x kx x x x x x kx 当k 为何值时，只有零解？ 5.4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质： （１） 若ξ 1，ξ 2是齐次线性方程组 Ax = 0的解, 则ξ 1与ξ 2的和ξ 1 + ξ 2仍是 Ax = 0的解； （２） 若ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0的解，则ξ 的 任意常数倍kξ 仍是 Ax = 0的解． 若用 S 表示齐次线性方程组 Ax = 0的全体解 向量的集合，则性质１和性质２说明S中任意两个向 量的和在S中，S中任一向量的常数倍也在S中，就