概率论第二章习题参考解答 1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数 解:假设5=1对应于"正面朝上",5=0对应于反面朝上.则 P(5=0)=P(=1)=0.5 其分布函数为 F(x)={0.50≤x<1 x≥1 2.如果5服从0-1分布,又知§取1的概率为它取0的概率的两倍,写出§的分布律和分布 函数 解:根据题意有 P(§=1)=2P(§=0) 并由概率分布的性质知 P(5=0)+P(5=1)=1 将(1)代入(2)得 3P(§=0)=1,即P(5=0)=1/3 再由(1)式得 P(s=1)=2/3 因此分布律由下表所示 l/3 2/3 而分布函数为 x<0 F(x)={1/30≤x<1 x>=1 3.如果§的概率函数为P{5=a}=1,则称§服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出 F(x)的图形 0 x<a 解:F(x) 它的图形为 x≥a F(x) 4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产 品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数. 解设§取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有 P(5=1)=2P(5=2)
概率论第二章习题参考解答 1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1 对应于"正面朝上",ξ=0 对应于反面朝上. 则 P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5 . 其分布函数为 = 1 1 0.5 0 1 0 0 ( ) x x x F x 2. 如果ξ服从 0-1 分布, 又知ξ取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布 函数. 解: 根据题意有 P(ξ=1)=2P(ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P(ξ=0)+P(ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得 3P(ξ=0)=1, 即 P(ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P(ξ=1)=2/3 因此分布律由下表所示 ξ 0 1 P 1/3 2/3 而分布函数为 = = 1 1 1/ 3 0 1 0 0 ( ) x x x F x 3. 如果ξ的概率函数为 P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数 F(x), 画出 F(x)的图形. 解: = x a x a F x 1 0 ( ) , 它的图形为 a x 1 0 F(x) 4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产 品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值 1,2,3 代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P(ξ=1)=2P(ξ=2) (1)
P(5=3)=P(5=2)2 由概率论性质可知 P(5=1)+P(=2)+P(5=3)=1 (1),(2)代入(3)得 P(5=2)+P(5=2)+P(5=2y2=1 解得P(5=2)=2/7,再代回到(1)和(2)得 P(5=1)=4/7,P(5=3)=1/7 则概率函数为 P(5=1) 或列表如下 171 P 2/7 5.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数§的 分布律 解:基本事件总数为n=C2 有利于事件{5=i}(=0,1,2,3,4)的基本事件数为n1=C3C15,则 4·3.2.115.14.13·127.13 P(=0) =0.2817 C201918·1743·2119·17 CIC P(=1) 4·3.2.15·15.14·1315.14·13 0.4696 C20·19·181732.1191817 P(=2)=4 4·3.2·15.4.15·.143.2.15·14 =0.2167 20·19·18·172.1·2·119.18.17 CCl43215.41525 P(=3) 0.031 2420·1918172119·17 4·3.2.1.5 P(=4)= 0.001 C20·19·18·17193·17 2 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.00l 6.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定 每件产品被取到的机会相同,求抽取次数5的概率函数 解:每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308 则§服从相应的几何分布,即有 10(3 P(=)=p=13(13 (i=12,3,…) 上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数 5的分布律 解:这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽 时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4
P(ξ=3)=P(ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知 P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 (3) (1),(2)代入(3)得: 2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1 解得 P(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P(ξ=1)=4/7, P(ξ=3)=1/7 则概率函数为 2 ( 1,2,3) 7 1 ( ) 3 = = = − P i i i 或列表如下: ξ 1 2 3 P 4/7 2/7 1/7 5. 一批产品 20 个, 其中有 5 个次品, 从这批产品中随意抽取 4 个, 求这 4 个中的次品数ξ的 分布律. 解: 基本事件总数为 4 n = C20 , 有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为 i i ni C C − = 4 5 15 , 则 0.001 19 3 17 1 20 19 18 17 4 3 2 1 5 ( 4) 0.031 19 17 2 5 2 1 5 4 15 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 3) 0.2167 19 18 17 3 2 15 14 2 1 2 1 5 4 15 14 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 2) 0.4696 19 18 17 15 14 13 3 2 1 5 15 14 13 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 1) 0.2817 19 17 7 13 4 3 2 1 15 14 13 12 20 19 18 17 4 3 2 1 ( 0) 4 2 0 4 5 4 2 0 1 1 5 3 5 4 2 0 2 1 5 2 5 4 2 0 3 1 5 1 5 4 2 0 4 1 5 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξ 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.031 0.001 6. 一批产品包括 10 件正品, 3 件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定 每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数. 解: 每次抽到正品的概率相同, 均为 p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率 q=1-p=0.2308 则ξ服从相应的几何分布, 即有 ( 1,2,3, ) 13 3 13 10 ( ) 1 = = = = − P i pq i i i 7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数 ξ的分布律. 解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有 3 件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽 时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为 1,2,3,4
不难算出 10 P(=1)==0.7692 P(=2)=3 l313=0.1953 32 P(=3)= 0.0328 P(5=4) 0.0027 131313 5的分布律如下表所示 P 0.7692 0.1953 0.0328 0.0027 8.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行 调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数 解:事件§可i说明生产了i次正品后第计1次出现废品,这是计+1个独立事件的交(1次发生i 次不发生,因此有 P(÷=1)=p(1-p),(i=0,1,2,) 9.已知随机变量只能取1012四个值,相应概率依次为357定常数c并 2c4c8c16 计算P{<110} 解:根据概率函数的性质有 P{=-}+P{5=0}+P{=1}+P{=2}=1 13 c=1+3+5+7=8+12+10+7=37=2.3125 24816 设事件A为<1,B为≠0,(注:如果熟练也可以不这样设)则 P{<11≠0)=(4)=P15105≠0 P(B) P{5≠0) P P1=-1+P=1+P=2=157=25=03 2816 10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数 解:第4题:
不难算出, 0.0027 13 1 13 2 13 3 ( 4) 0.0328 13 12 13 2 13 3 ( 3) 0.1953 13 11 13 3 ( 2) 0.7692 13 10 ( 1) = = = = = = = = = = = = P P P P ξ的分布律如下表所示: ξ 1 2 3 4 P 0.7692 0.1953 0.0328 0.0027 8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行 调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数. 解: 事件ξ=i 说明生产了 i 次正品后第 i+1 次出现废品, 这是 i+1 个独立事件的交(1 次发生 i 次不发生, 因此有 P(ξ=i)=p(1-p) i , (i=0,1,2,…) 9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2 四个值, 相应概率依次为 c c c 16c 7 , 8 5 , 4 3 , 2 1 , 确定常数 c 并 计算 P{ξ<1|ξ≠0}. 解: 根据概率函数的性质有 P{ = −1}+ P{ = 0}+ P{ = 1}+ P{ = 2} = 1 即 1 16 7 8 5 4 3 2 1 + + + = c c c c 得 2.3125 16 37 16 8 12 10 7 16 7 8 5 4 3 2 1 = = + + + c = + + + = 设事件 A 为 ξ<1, B 为 ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则 0.32 25 8 16 7 8 5 2 1 2 1 { 1} { 1} { 2} { 1} { 0) { 1 0} ( ) ( ) { 1| 0} = = + + = = − + = + = = − = = = P P P P P P P B P AB P 10. 写出第 4 题及第 9 题中各随机变量的分布函数. 解: 第 4 题:
x<1 4/71≤x<2 F(x) 6/72≤x<3 第9题 当x<-1时:F(x)=P(5≤x)=0 当-1≤x<0时:F(x)=P(5sx)=P(=-1 c2×2.31502162 当0≤x<1时:F(x)=P(5sx)=P(÷=1)P(0)=+=+ 3125=0.5405 当1≤x<2时:F(x)=P(5sx)=P÷=1)+P(=0)+P(=1)= 35(135 2c48(248//23125=0108 当x2时:F(x)=P(§≤x)=1 综上所述,最后得 0.2162-1≤x<0 F(x)={0.54050≤x<1 0.81081<x<2 n已知4-0(=23k0x1,求4的分布函数F(1画出的图形 0其它 解:当x<0时:F(x)=0 当0≤x<1时: F(x)=q()d=|0d+ dt=-t 2dt 2√t 21 当x1时:F( 综上所述,最后得 F(x)=√x0≤x<1图形为
= 1 3 6 / 7 2 3 4 / 7 1 2 0 1 ( ) x x x x F x 第 9 题: 当 x<-1 时: F(x)=P(ξ≤x)=0 当-1≤x<0 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)= 0.2162 2 2.3125 1 2 1 = = c 当 0≤x<1 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)= 2.3125 0.5405 4 3 2 1 4 3 2 1 = + = + c c 当 1≤x<2 时: F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)= 2.3125 0.8108 8 5 4 3 2 1 8 5 4 3 2 1 = + + = + + c c c 当 x≥2 时: F(x)=P(ξ≤x)=1 综上所述, 最后得: − − = 1 2 0.8108 1 2 0.5405 0 1 0.2162 1 0 0 1 ( ) x x x x x F x 11. 已知ξ~ = 0 其它 0 1 2 1 ( ) x x x , 求ξ的分布函数 F(x), 画出 F(x)的图形. 解: 当 x<0 时: F(x)=0; 当 0≤x<1 时: x x x t x dt t dt t t F x t dt dt x x x = = − = − + = = + = = − − + − − 0 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 1 2 1 0 2 1 0 0 当 x≥1 时: F(x)=1 综上所述, 最后得 = 1 1 0 1 0 0 ( ) x x x x F x 图形为 1 0 x F(x) 1
12.已知p(x)= 「2x0<x<1 0其它,求P(2051P(0.5)F(x) 解P{505=Jx)=j+j2xd=x2=052-0=025 因§为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{5=0.5}=0 求F(x).当x<0时,F(x)=0 当05x<1时,F(x)=「o()dt=[od+[2ut=t2=x2 当x1时,F(x)=1 综上所述,最后得 0x<0 F(x)={x20≤x<1 x≥ 13某型号电子管,其寿命(以小时计)为-随机变量,概率密度(x)={x x≥100 某 0其它 个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率 解:先求一个电子管使用150小时以上的概率P(≥150)为 1002 P≥150)=|(x)d= 1503 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为 P3(3) =02963 14.设连续型随机变量的分布函数为 F(x)={Ax20≤x<1 x≥1 求系数AP(0.3<5<0.7),概率密度p( 解:因ξ是连续型随机变量,因此F(x)也必是连续曲线,则其在第二段(O,1区间的曲线必能 和第三段(1,+∞)的曲线接上,则必有 A×12=1,即A=1.则分布函数为 0x<0 F(x)={x20≤x<1 x≥1 P(0.3<5<0.7)=F(0.7)F(03)=0.72-032=0.49-0.09=04
12. 已知 ξ~ = 0 其它 2 0 1 ( ) x x x , 求 P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x). 解: { 0.5} ( ) 0 2 0.5 0 0.25 2 2 0.5 0 2 0.5 0 0,5 0 = = + = | = − = − − P x dx dx xdx x , 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以 P{ξ=0.5}=0, 求 F(x): 当 x<0 时, F(x)=0 当 0≤x<1 时, 2 0 2 0 0 0 2 | F(x) (t)dt dt tdt t x x x x = = + = = − − 当 x≥1 时, F(x)=1 综上所述, 最后得: = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x x x x F x 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度 = 0 其它 100 100 ( ) 2 x x x , 某 一个电子设备内配有 3 个这样的电子管, 求电子管使用 150 小时都不需要更换的概率. 解: 先求一个电子管使用 150 小时以上的概率 P(ξ≥150)为: 3 2 150 100 2 1 100 100 ( 150) ( ) | 150 2 1 150 2 150 = = − + = = = + − + + + dx x x P x dx 则 3 个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为 0.2963 27 8 3 2 (3) 3 3 = = p = 14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为: = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x Ax x x F x 求系数 A; P(0.3<ξ<0.7); 概率密度 φ(x). 解: 因ξ是连续型随机变量, 因此 F(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能 和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A×1 2=1, 即 A=1. 则分布函数为 = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x x x x F x P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72 -0.32=0.49-0.09=0.4