深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（概率论）第一章习题参考解答

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率 解:设事件A={出现3个正面} 基本事件总数n=2,有利于A的基本事件数n=1,即A为一基本事件, 则P(A 0.125 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率 解:设事件A={能打开门},则A为不能打开门 基本事件总数n=C,有利于A的基本事件数nx=C7 P(A)- C2 7×61×27 0.467 C01×210×915 因此,P(A)=1-P(A)=1-0.467=0.533 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概 率是多少 解:设A={能打开门} 基本事件总数n=P=4×3×2×1=24, 有利于A的基本事件数为nA=2 因此,P(A) =0.0833 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率 解:设A为取到i个次品,=0.,1,23, 基本事件总数n=C100有利于A的基本事件数为n1=C3C97,i=0,2,3

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷 3 枚硬币, 求出现 3 个正面的概率. 解: 设事件 A={出现 3 个正面} 基本事件总数 n=2 3 , 有利于 A 的基本事件数 nA=1, 即 A 为一基本事件, 则 0.125 8 1 2 1 ( ) 3 = = = = n n P A A . 9. 10 把钥匙中有 3 把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件 A={能打开门}, 则 A 为不能打开门 基本事件总数 2 n = C10 , 有利于 A 的基本事件数 2 nA = C7 , 0.467 15 7 10 9 1 2 1 2 7 6 ( ) 2 10 2 7 = =      = = C C P A 因此, P(A) =1− P(A) =1− 0.467 = 0.533 . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概 率是多少? 解: 设 A={能打开门}, 基本事件总数 n = P4 = 4321= 24, 有利于 A 的基本事件数为 nA = 2, 因此, 0.0833 12 1 ( ) = = = n n P A A . 11. 100 个产品中有 3 个次品,任取 5 个, 求其次品数分别为 0,1,2,3 的概率. 解: 设 Ai 为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, 基本事件总数 5 n = C100 , 有利于 Ai 的基本事件数为 , 0,1,2,3 5 = 3 97 = − n C C i i i i 则

P42=m==2=m9 95×94×93 24 =0.856 96 33 P(A1) n13×C分 1×2×3×4×53×97×96×95×94 C100100×99×98×97×961×2×3×4 95×94 =0.138 20×33×98 P(A2) CC1×2×3×4×53×97×96×95 100×99×98×97×961×2×3 0.006 5×33×98 P(41)=生 1×2×3×4×5 nC100×99×98×97×961×2 =0.00006 5×33×98 12.N个产品中有M1个次品,从中任取n个(1≤n≤N≤M,求其中有k≤n)个次品的概率 解:设Ak为有k个次品的概率,k=0,1,2,,n 基本事件总数m=CN,有利于事件A的基本事件数m=CCN=N,k=0,2,,n 因此,P(A) mk CN-N, k= 0,1,…,n 13.一个袋内有5个红球3个白球2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率 解:设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数n=C10,有利于A的基本事件数为nA=CCC2, 则P(4=nCCo 1×2×3 5×3×2 0.25 10×9×8 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封 信的概率 解:设A为前两个邮筒没有信的事件,B为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数n=4×4=16 有利于A的基本事件数n4=2×2=4 有利于B的基本事件数nn=2×3=6 则P(A) 0.25 164 P(B)=a=63 =0.375 168

0.00006 5 33 98 1 1 2 97 96 100 99 98 97 96 1 2 3 4 5 ( ) 0.006 5 33 98 95 1 2 3 3 97 96 95 100 99 98 97 96 1 2 3 4 5 ( ) 0.138 20 33 98 95 94 1 2 3 4 3 97 96 95 94 100 99 98 97 96 3 1 2 3 4 5 ( ) 0.856 20 49 33 19 47 31 100 99 98 97 96 97 96 95 94 93 ( ) 5 100 2 3 9 7 3 5 100 3 9 7 2 2 3 2 5 100 4 1 9 7 1 5 100 5 0 9 7 0 =   = =            = = = =   =               = = = =    =                 =  = = =     =         = = = C C n n P A C C C n n P A C C n n P A C C n n P A 12. N 个产品中有 N1 个次品, 从中任取 n 个(1≤n≤N1≤N), 求其中有 k(k≤n)个次品的概率. 解: 设 Ak为有 k 个次品的概率, k=0,1,2,…,n, 基本事件总数 n m = CN , 有利于事件 Ak的基本事件数 n k N N k mk CN C − = 1 − 1 ,k=0,1,2,…,n, 因此, k n C C C m m P A n N n k N N k k N k ( ) , 0,1, , = = 1 1 =  − − 13. 一个袋内有 5 个红球, 3 个白球, 2 个黑球, 计算任取 3 个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设 A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数 3 n = C10 , 有利于 A 的基本事件数为 1 2 1 3 1 nA = C5C C , 则 0.25 4 1 5 3 2 10 9 8 1 2 3 ( ) 3 10 1 2 1 3 1 5    = =     = = = C C C C n n P A A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封 信的概率. 解: 设 A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数 n = 44 =16, 有利于 A 的基本事件数 nA = 22 = 4, 有利于 B 的基本事件数 nB = 23 = 6, 则 0.25 4 1 16 4 ( ) = = = = n n P A A 0.375 8 3 16 6 ( ) = = = = n n P B B

15.一批产品中,一,二,三等品率分别为08,0.16.004,若规定一,二等品为合格品,求产 品的合格率 解:设事件A为一等品,A2为二等品,B为合格品,则 P(A1)=0.8,P(2)=0.16, B=A1+A2,且A1与A2互不相容,根据加法法则有 P(B)=P(A1)P(42)0.8+0.16=0.96 16.袋内装有两个5分,三个2分,五个一分的硬币,任意取出5个,求总数超过一角的概率 解:假设B为总数超过一角 A1为5个中有两个5分,A2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A3为5个中有一个5分两个2分两个1分,则 B=A1+A2+A3,而A1,A2A3互不相容, 基本事件总数n=C10 10×9×8×7×6 =3×2×6×7=252 1×2×3×4×5 设有利于A1,A2,A3的基本事件数为m,m2m n,=C2C8 =56 1×2×3 n2=C2C3C5=2×5=10 n3=C2C3C5=2×3 =60 1×2 P(B)=56+10+60126 252 252505 17.求习题11中次品数不超过一个的概率 解:设A为取到i个次品,=0,1,2,3,B为次品数不超过一个 则B=Ao+A1,Ao与A互不相容,则根据1l题的计算结果有 P(B)=P(Ao+P(41)=0.856+0.138=0.994 19.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(用B表 示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P(AB),P(BA),P(4+B 解:根据题意有P(4)=4/15,P(B=7/5,P(AB=1/10,则 P(A|B)=P(AB)1/103 P(B)7/15140.214 P(B|APAB)1103≈0275 P(A)4/158 P(A+B)=P(4)+P(B)-P(AB)=+411448-319=0633 20.为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,其有效的概 率系统A为0.92,系统B为0.93,在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求 (1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2)B失灵的条件下,A有效的概率 解:设A为系统A有效,B为系统B有效,则根据题意有 P(4)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85

15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为 0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产 品的合格率. 解: 设事件 A1 为一等品, A2 为二等品, B 为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且 A1 与 A2 互不相容, 根据加法法则有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96 16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设 B 为总数超过一角, A1 为 5 个中有两个 5 分, A2 为 5 个中有一个 5 分三个 2 分一个 1 分, A3 为 5 个中有一个 5 分两个 2 分两个 1 分, 则 B=A1+A2+A3, 而 A1,A2,A3 互不相容, 基本事件总数 3 2 6 7 252 1 2 3 4 5 5 10 9 8 7 6 10 =    =         n = C = 设有利于 A1,A2,A3 的基本事件数为 n1,n2,n3, 则 0.5 252 126 252 56 10 60 ( ) 60, 1 2 5 4 2 3 2 5 10, 56, 1 2 3 8 7 6 2 5 2 3 1 3 2 1 5 3 3 1 2 2 3 8 2 1 2 = = + + = =   = =   = =  = =     = = P B n C C C n C C C n C C 17. 求习题 11 中次品数不超过一个的概率. 解: 设 Ai 为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则 B=A0+A1, A0 与 A1 互不相容, 则根据 11 题的计算结果有 P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994 19. 由长期统计资料得知, 某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15, 刮风(用 B 表 示)的概率为 7/15, 既刮风又下雨的概率为 1/10, 求 P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根据题意有 P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则 0.633 30 19 30 14 8 3 10 1 15 4 15 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.275 8 3 4 /15 1/10 ( ) ) ( | ) 0.214 14 3 7 /15 1/10 ( ) ( ) ( | ) = = + − + = + − = + − = = = = = = = = = P A B P A P B P AB P A PAB P B A P B P AB P A B 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B, 每种系统单独使用时, 其有效的概 率系统 A 为 0.92, 系统 B 为 0.93, 在 A 失灵的条件下, B 有效的概率为 0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率 解: 设 A 为系统 A 有效, B 为系统 B 有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B | A) = 0.85

(1)两个系统至少一个有效的事件为A+B,其对立事件为两个系统都失效 即A+B=AB,而P(B|A)=1-P(B|A)=1-0.85=0.15,则 P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-0.92)×0.15=0.08×0.15=0012 P(A+B)=1-P(AB)=1-0.012=0988 (2)B失灵条件下A有效的概率为P(A|B),则 P4B)=1-P(A|B)=1-(AB)=1_0012 =0.829 P(B) 1-0.93 21.10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取每人一次,甲先,乙次,丙最 后,证明3人抽到难签的概率相等 证:设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签,显然P(A)=4/10, 而由 P(AB)=P(A)P(B A) 312 6424 P(AB)=P(AP(BA) 10990 4624 P(B)=(4P(B\N10990 P(AB)=P(A)P(B|4)=×530 65 10990 由于A与A互不相容且构成完备事件组,因此B=AB+AB可分解为两个互不相容事件 的并,则有 12+24364 P(B)=P(AB)+ P(AB) 又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组,因此有 C=ABC+ABC+ABC+ABC分解为四个互不相容的事件的并 且 24 P(ABC)=P(AB)P(CLAB)=-x= 908720 P(ABC)= P(AB)P(CJAB)=X 8720 P(ABC)=P(AB)P(CIAB)24. 372 P(ABC)=P(AB)P(CJA B) 908720

(1) 两个系统至少一个有效的事件为 A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即 A + B = A B , 而 P(B | A) =1− P(B | A) =1− 0.85 = 0.15 , 则 ( ) 1 ( ) 1 0.012 0.988 ( ) ( ) ( | ) (1 0.92) 0.15 0.08 0.15 0.012 + = − = − = = = −  =  = P A B P A B P A B P A P B A (2) B 失灵条件下 A 有效的概率为 P(A | B) , 则 0.829 1 0.93 0.012 1 ( ) ( ) ( | ) 1 ( | ) 1 = − = − = − = − P B P A B P A B P A B 21. 10 个考签中有4 个难签, 3 人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最 后, 证明 3 人抽到难签的概率相等. 证: 设事件 A,B,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然 P(A)=4/10, 而由 90 30 9 5 10 6 ( ) ( ) ( | ) 90 24 9 6 10 4 ( ) ( ) ( | ) 90 24 9 4 10 6 ( ) ( ) ( | ) 90 12 9 3 10 4 ( ) ( ) ( | ) = =  = = =  = = =  = = =  = P A B P A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A 由于 A 与 A 互不相容,且构成完备事件组, 因此 B = AB + AB 可分解为两个互不相容事件 的并, 则有 10 4 90 36 90 12 24 ( ) ( ) ( ) = = + P B = P AB + P AB = 又因 AB, AB, AB, A B 之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有 C = ABC + ABC + ABC + A BC 分解为四个互不相容的事件的并, 且 720 120 8 4 90 30 ( ) ( ) ( | ) 720 72 8 3 90 24 ( ) ( ) ( | ) 720 72 8 3 90 24 ( ) ( ) ( | ) 720 24 8 2 90 12 ( ) ( ) ( | ) = =  = = =  = = =  = = =  = P A BC P A B P C A B P ABC P AB P C AB P ABC P AB P C AB P ABC P AB P C AB

P(C)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC 24+72+72+1202884 720 因此有P(A)=P(B=P(O,证毕 22.用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工 的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率 解:设A1,A2,A3零件由第12,3个机床加工,B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组 则根据题意有 P(41)=0.5,P(A2)=0.3,P(43)=0.2, P(B|41)=0.94,P(B42)0.9,P(B3)=0.9 由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为 P(B)=∑P(A)P(B|A1)=0.5×0.94+03×09+0.2×0.95=0.93 23.12个乒乓球中有9个新的3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛 又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率 解:设A,1,A2,43为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球,A0A1A243构成完备事件组 设B为第二次取到的3个球中有2个新球则有 1×2×3 P(A4) C1212×11×10220 CC1×2×39×8 P(B 3 C1212×11×101×255 CC21×2×3×9×327 P(A)=23 12×11×10220 4 28 P(BA C1212×11×101×2 P(A)=Cc11×2×3×9×8×327 12×11×10×255 P(BA CC1×2×37×6-21 12×11×101×2 P(A3) C31×2×3×9×8×721 C312×11×10×2×355 P(BIA3)=- C6C61×2×36×5 12×11×101×2 根据全概率公式有

则 10 4 720 288 720 24 72 72 120 ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = + + + = P C = P ABC + P ABC + P ABC + P A BC 因此有 P(A)=P(B)=P(C), 证毕. 22. 用 3 个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工 的零件为合格品的概率分别等于 0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设 A1,A2,A3 零件由第 1,2,3 个机床加工, B 为产品合格, A1,A2,A3 构成完备事件组. 则根据题意有 P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率 P(B)为 ( ) ( ) ( | ) 0.5 0.94 0.3 0.9 0.2 0.95 0.93 3 1 =  =  +  +  = i= P B P Ai P B Ai 23. 12 个乒乓球中有 9 个新的3 个旧的, 第一次比赛取出了 3 个, 用完后放回去, 第二次比赛 又取出 3 个, 求第二次取到的 3 个球中有 2 个新球的概率. 解: 设 A0,A1,A2,A3 为第一次比赛取到了 0,1,2,3 个新球, A0,A1,A2,A3 构成完备事件组. 设 B 为第二次取到的 3 个球中有 2 个新球. 则有 22 9 6 1 2 6 5 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 55 21 12 11 10 2 3 1 2 3 9 8 7 ( ) , 44 21 5 1 2 7 6 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 55 27 12 11 10 2 1 2 3 9 8 3 ( ) , 55 28 4 1 2 8 7 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 220 27 12 11 10 1 2 3 9 3 ( ) , 55 27 3 1 2 9 8 12 11 10 1 2 3 ( | ) , 220 1 12 11 10 1 2 3 ( ) 3 12 1 6 2 6 3 3 12 3 9 3 3 12 1 5 2 7 2 3 12 1 3 2 9 2 3 12 1 4 2 8 1 3 12 2 3 1 9 1 3 12 1 3 2 9 0 3 12 3 3 0  =        = = =          = =  =        = = =         = =  =        = = =       = =  =        = = =     = = C C C P B A C C P A C C C P B A C C C P A C C C P B A C C C P A C C C P B A C C P A 根据全概率公式有