概率密度o(x)为 2x0≤x< p(x)=F(x)= 其它 5.服从柯西分布的随机变量5的分布函数是F(x)=4+ B arctex,求常数AB,P{k-l}以及概 率密度p(x) 解:由F(-∞)=0 得A+Ba8(-∞)=A-B=0 再由F( 得A+ B arte(+∞)=A+B==1 综和(1)、(2)两式解得A=,B 丌 即F(x)==+- arct x P(5k1)=f(-1<5<1)=F(1)-(-sl arctgl--arctg 0.5 42 P(x)=F(x) 丌1+x 16.服从拉普拉斯分布的随机变量的概率密度(x)=Ae,求系数A及分布函数F(x) 解:这实际上是一个分段函数,(x)可重新写为 ≥0 根据性质「q(x)dx=1,又因(x)为偶函数,因此有 ∫(x)x=2「Aek=24[=2=1,则有A12 x≥0 因此(x)=c+=2 x<0 求分布函数F(x) F(x)=o(ndt=l-e'dt=
概率密度 φ(x)为 = = 0 其它 2 0 1 ( ) ( ) x x x F x 15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是 F(x)=A+B arctgx, 求常数 A,B;P{|ξ|<1}以及概 率密度 φ(x). 解: 由 F(-∞)=0, 得 A+Barctg(-∞)= 0 2 − = A B (1) 再由 F(+∞)=1, 得 1 2 + arctg(+) = + = A B A B (2) 综和(1),(2)两式解得 1 , 2 1 A = B = 即 F x arctg x 1 2 1 ( ) = + 0.5 2 1 4 4 1 1 1 1 1 (| | 1) ( 1 1) (1) ( 1) = = = − − = − = − − = − − = P P F F arctg arctg 2 1 1 1 ( ) ( ) x x F x + = = 16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度 | | ( ) x x Ae− = , 求系数 A 及分布函数 F(x). 解: 这实际上是一个分段函数, φ(x)可重新写为 = − 0 0 ( ) Ae x Ae x x x x 根据性质 ( ) = 1 + − x dx , 又因 φ(x)为偶函数, 因此有 ( ) 2 2 | 2 1 0 0 = = − = = + − + − + − x dx Ae dx Ae A x x , 则有 A=1/2 因此 = = − − 0 2 1 0 2 1 2 1 ( ) | | e x e x x e x x x . 求分布函数 F(x). 当 x<0 时, 有 x x t x t x F x t dt e dt e e 2 1 2 1 2 1 ( ) = ( ) = = = − − −
当x0时,有 F(x d u e-dt 综上所述,最后得 F(x) x≥0 17.已知5~x)=J12x2-12x+30<x<l 其它,计算P{s0201<05 解:设事件A={5≤0.2},B={0.1<≤0.5},则要计算的是条件概率P(A|B,而 P(AIB)=P(AB) 而事件AB={50.2}0{0.1<05}={0.1<02} P(B) P(AB)=P01<502}=ox)dk=∫(2x2-12x+3)dx 因此有 =(4x3-6x2+3x =(4×0.008-6×004+3×0.2)-(4×0.001-6×0.01+3×0.1) =0.032-0.24+06-0.004+0.06-0.3=0.148 P(B)=P{0.1<5≤0.5} =(4x3-6x2+3x)= (4×0.125-6×0.25+3×0.5)-(4×0.001-6×0.01+3×0.1) 0.5-1.5+1.5-0.004+0.06-0.3=0.256 最后得 P{5≤0.210.1<5≤0.5}=P(A|B)= P(AB)0.148 =0.5781 P(B)0.256 18.已知5~0(x)=ce-x*x,确定常数 解首先证明普阿松广义积分edx=√z,因为函数e并不存在原函数因此需要 技巧.令Ⅰ dx,则I2 时了 作极坐标代换,令x=rC0,y=rsnb,则积分区间为全平面,即θ从0积到2xr从0积
当 x≥0 时, 有 x x x t x t t x F x t dt e dt e dt e e e − − − − − − = = + = − = − + = − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 综上所述, 最后得 − = − 0 2 1 1 0 2 1 ( ) e x e x F x x x 17. 已知 − + = 0 其它 12 12 3 0 1 ~ ( ) 2 x x x x , 计算 P{ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5} 解: 设事件 A={ξ≤0.2}, B={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率 P(A|B), 而 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = , 而事件 AB={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有 0.032 0.24 0.6 0.004 0.06 0.3 0.148 (4 0.008 6 0.04 3 0.2) (4 0.001 6 0.01 3 0.1) (4 6 3 ) ( ) {0.1 0.2} ( ) (12 12 3)d 0.2 0.1 3 2 0.2 0.1 2 0.2 0.1 = − + − + − = = − + − − + = − + = = = = − + x x x P AB P x dx x x x 0.5 1.5 1.5 0.004 0.06 0.3 0.256 (4 0.125 6 0.25 3 0.5) (4 0.001 6 0.01 3 0.1) (4 6 3 ) ( ) {0.1 0.5} ( ) (12 12 3)d 0.5 0.1 3 2 0.5 0.1 2 0.5 0.1 = − + − + − = = − + − − + = − + = = == = − + x x x P B P x dx x x x 最后得 0.5781 0.256 0.148 ( ) ( ) { 0.2 | 0.1 0.5} = ( | ) = = = P B P AB P P A B 18. 已知 x x x ce − + = 2 ~ ( ) , 确定常数 c. 解: 首先证明普阿松广义积分 = + − − e x x d 2 , 因为函数 2 x e − 并不存在原函数, 因此需要 一技巧. 令 + − − I = e x x d 2 , 则 + − + − − + + − − = I = e x e x y x x y d d d ( ) 2 2 2 2 2 作极坐标代换, 令 x = r cos , y = rsin , 则积分区间为全平面, 即 θ 从 0 积到 2π, r 从 0 积