二.维数的定义 如果一个向量空间由有限个向量生成,它的基可能不只一个 但是由于所有的基都是等价的,且每一基都是线性无关的.因此由 推论6.3.7可知一个向量空间的任意两个基所含的向量的个数都相等 因此我们可以有如下定义 定义2设是一个由有限个向量生成的非零向量空间,它的基所 含向量的个数叫做的维数.空间的维教完义为0.如果一个向量 空间不能由有限个向量生成,则称这个向量空间是无限维的向量空 间的基记作dim. 例6Fx作为F上的向量空间不是有限生成的,因而是无限维的
二. 维数的定义 如果一个向量空间由有限个向量生成, 它的基可能不只一个. 但是由于所有的基都是等价的, 且每一基都是线性无关的. 因此由 推论6.3.7可知一个向量空间的任意两个基所含的向量的个数都相等. 因此我们可以有如下定义 定义2 设V是一个由有限个向量生成的非零向量空间,它的基所 含向量的个数叫做V的维数. 零空间的维数定义为0. 如果一个向量 空间不能由有限个向量生成, 则称这个向量空间是无限维的. 向量空 间V的基记作dimV. 例6 F[x]作为F上的向量空间不是有限生成的, 因而是无限维的
三.关于基和维数的几个结论 定理532如果{12O2,On}是向量空间的一个基,那么V的 每一个向量都可以唯一地表示成12C2…,n的线性组合 定理533设是一个n维向量空间且>n,则中任意个向量都 是线性相关的 定理534设ax1,x2,x,是n维向量空间中的一组线性无关的 向量,那么总可以添加m-个向量ax12,.,使得{a1,2,,x Cx=1,…,cn}构成的一个基特别地,n维向量空间中任意n个线性 无关的向量都构成的一个基 定理535如果W和W2是向量空间的两个有限维子空间,那么 W1+W2也是有限维的,且 dim(i+w2)=dimWitdimW2-dim(Wiaw2)
三. 关于基和维数的几个结论 定理5.3.2 如果{1 , 2 ,…, n}是向量空间V的一个基, 那么V的 每一个向量都可以唯一地表示成1 , 2 ,…, n的线性组合. 定理5.3.3 设V是一个n维向量空间且r>n, 则V中任意r个向量都 是线性相关的. 定理5.3.4 设1 , 2 ,…, r是n维向量空间V中的一组线性无关的 向量, 那么总可以添加n−r个向量r+1,…, n使得{1 , 2 ,…, r , r+1, …, n }构成V的一个基. 特别地, n维向量空间V中任意n个线性 无关的向量都构成V的一个基. 定理5.3.5 如果W1和W2是向量空间V的两个有限维子空间, 那么 W1+W2也是有限维的, 且 dim(W1+W2 )=dimW1+dimW2−dim(W1W2 )
四.坐标 设是数域F上的m(n>0)维向量空间,{a122…,x}是的一个基, 则中的任一向量都可以唯一地表示成 =x1C1+x2O2+..+x,0 因此取定的一个基{a1,a2,xn}后,中每一向量ξ都有唯一的m元 数列(x12x2…,x)与它对应数x叫做向量关于基{a12,n}的第 个坐标(x12x2,…,x)叫做向量ξ关于基{a1,a2,n}的坐标 例1取定中三个不共面的向量,那么中的任一向量ξ都可 以唯一地表示成2=x(x1+x02+xx2,2关于基{(x1,a23}的坐标就是(x1 n2. 例2F的向量a=(a1a2…,an)关于标准基{(182,n}的坐标 就是(a1 定理538设V是数域F上的m(n>0)维向量空间,{(x1,a2…,Oxn} 是的一个基,,n∈V,它们关于基{a1,2,,n}的坐标分别是(x1 x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn).那么+n关于这个基的坐标就是(x1+y1, x2+y2…,xn+yn).再设a∈F,则关于这的基的坐标是(ax1ax2, aN
四. 坐标 设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1 , 2 ,…, n}是V的一个基, 则V中的任一向量都可以唯一地表示成 =x11+x22+…+xnn . 因此取定V的一个基{1 , 2 ,…, n}后, V中每一向量都有唯一的n元 数列(x1 , x2 , …, xn )与它对应. 数xi叫做向量关于基{1 , 2 ,…, n}的第 i个坐标. (x1 , x2 , …, xn )叫做向量关于基{1 , 2 ,…, n}的坐标. 例1 取定V3中三个不共面的向量, 那么V3中的任一向量都可 以唯一地表示成=x11+x22+x33 . 关于基{1 , 2 ,3}的坐标就是(x1 , x2 , x3 ). 例2 F n的向量=(a1 , a2 , …, an )关于标准基{1 , 2 ,…, n}的坐标 就是(a1 , a2 , …, an ). 定理5.3.8 设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1 , 2 ,…, n} 是V的一个基, , V, 它们关于基{1 , 2 ,…, n}的坐标分别是(x1 , x2 , …, xn )和(y1 , y2 , …, yn ). 那么+关于这个基的坐标就是(x1+y1 , x2+y2 , …, xn+yn ). 再设aF, 则a关于这的基的坐标是(ax1 , ax2 , …, axn )
五,过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 设{a 1,w2:… Cx}和{B1,B2,,Bn}是n(n>0)维向量空间的两个基 那么β可以由a1,O2,On线性表示: B1=010x1+a2102+…+an1n B2=a121+a222+…+an2On Bn=an1+a2n2+…+amQy 其中(a12…,an)就是关于基{a1,O2,am}的坐标以这n个坐标 为列作一个矩阵 l1a12 T 2122 1 an2 矩阵T叫做由基{(x1,2…,x}到基{β,B2,…,Bn}的过渡矩阵利用第 一节中的约定,我们知道这两个基之间的关系是 (B1, B2s Bn=0, a 2
五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 设{1 , 2 ,…, n}和{1 , 2 ,…, n}是n(n >0)维向量空间V的两个基. 那么j可以由1 , 2 ,…, n线性表示: 其中(a1j , a2j ,…, anj )就是关于基{1 , 2 ,…, n}的坐标. 以这n个坐标 为列作一个矩阵 矩阵T叫做由基{1 , 2 ,…, n}到基{1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵. 利用第 一节中的约定, 我们知道这两个基之间的关系是: (1 , 2 ,…, n )=(1 , 2 ,…, n )T. n n n nn n n n n n a a a a a a a a a = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 = n n nn n n a a a a a a a a a T 1 2 21 22 2 11 12 1
设它关于基(0和B、、D的坐标分别是 x2,…,x)和(1,y2…,yn)则有 y 5=∑x=(n,a2.n)?=∑月=(B,B2… (c n)7 (an1,a2,…ayn yn 比较上面两个等式可得 定理539设∈V,它关于基{a1,C2,n}和基{B1,B2…,Bn}的 坐标分别是(x1,x2…,xn)和(1,y2…,yn).从基{a1,2,,an}到基 BB2…,B}的过渡矩阵是7,则有x21|=712
设V, 它关于基{1 , 2 ,…, n}和{1 , 2 ,…, n}的坐标分别是(x1 , x2 , …, xn )和(y1 , y2 , …, yn ). 则有 比较上面两个等式可得 定理5.3.9 设V, 它关于基{1 , 2 ,…, n}和基{1 , 2 ,…, n}的 坐标分别是(x1 , x2 , …, xn )和(y1 , y2 , …, yn ). 从基{1 , 2 ,…, n}到基 {1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是T, 则有 = = = = = = = = n n n n n n n i i i n n n i i i y y y T y y y T y y y y x x x x 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 (( , , ) ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) . 2 1 2 1 = n n y y y T x x x