5.2向量的线性相关性 定义1设α1,2…,x是向量空间中的r个向量,对于数域F中的 任意r个数a12a2,an我们把a101+a22+.+aax称为x122,Ox的 个线性组合.如果向量α等于向量a1,2,x的某个线性组合,则 称α可以由a12…,x线性表示 定义2设12,…,c是向量空间中的r个向量,如果存在数域F 中的r个不全为零的数a12a2,an使得a11+a22++aax2=0,则称 x,2,a线性相关否则称∝1,2,,o线性无关 例1F3中的向量a1=(12,3,02=(2,4,6),3=(3,5,-4)线性相关 例2判断F中的向量a1=(1-2,3),2=(2,1,0),032=(1,-7,9)是否线 性相关 例3在向量空间Fx中,对任意非负整数n,向量1,x,,x都线 性无关
5.2 向量的线性相关性 定义1 设1 , 2 ,…, r是向量空间V中的r个向量, 对于数域F中的 任意r个数a1 , a2 ,…, ar , 我们把a11+a22+…+ arr称为1 , 2 ,…, r的 一个线性组合. 如果向量等于向量1 , 2 ,…, r的某个线性组合, 则 称可以由1 , 2 ,…, r线性表示. 定义2 设1 , 2 ,…, r是向量空间V中的r个向量, 如果存在数域F 中的r个不全为零的数a1 , a2 ,…, ar , 使得a11+a22+…+ arr=0, 则称 1 , 2 ,…, r线性相关. 否则称1 , 2 ,…, r线性无关. 例1 F 3中的向量1=(1,2,3), 2=(2,4,6), 3=(3,5,−4)线性相关. 例2 判断F 3中的向量1=(1,−2,3), 2=(2,1,0), 3=(1,−7,9)是否线 性相关. 例3 在向量空间F[x]中, 对任意非负整数n, 向量1, x, …, x n都线 性无关
命题521向量组a1a2,)中每一向量a都可由这一组向 量线性表示 命题522向如果向量γ可由β1,β2…,,线性表示,而每一β又可 由1,C2,x线性表示,那么?可由1,x2,x线性表示 命题523如果向量组{(x1,2,oc线性无关,则它的任意 部分也线性无关.等价地,如果向量组{ax,a2…,x有一部分线性 相关,则整个向量组{a1,2,ox线性相关 命题524如果向量组{ax1,ax2…,ox线性无关,而向量组{o 2,…,B线性相关,则β一定可以由(a1,2,,线性款 定理525向量x1,a2,x(>1)线性相关的充要条件是其中存 在一个向量是其余向量的线性组合 定义3设{a12x2,ox和{B1,阝2,B是两个向量组如果每 性表示,则称这两个向量组等价向量组的等价具有自反性,对称性 和传递性
命题5.2.1 向量组{1 , 2 ,…, r}中每一向量i都可由这一组向 量线性表示. 命题5.2.2 向如果向量可由1 , 2 ,…, r线性表示, 而每一i又可 由1 , 2 ,…, s线性表示, 那么可由1 , 2 ,…, s线性表示. 命题5.2.3 如果向量组{1 , 2 ,…, r}线性无关, 则它的任意一 部分也线性无关. 等价地,如果向量组{1 , 2 ,…, r}有一部分线性 相关, 则整个向量组{1 , 2 ,…, r}线性相关. 命题5.2.4 如果向量组{1 , 2 ,…, r}线性无关,而向量组{1 , 2 ,…, r,}线性相关, 则一定可以由{1 , 2 ,…, r}线性表示. 定理5.2.5 向量1 , 2 ,…, r(r>1)线性相关的充要条件是其中存 在一个向量是其余向量的线性组合. 定义 3 设{1 , 2 ,…, r}和{1 , 2 ,…, s}是两个向量组. 如果每 一个i都可1 , 2 ,…, s由线性表示, 每一个i也都可由1 , 2 ,…, r线 性表示, 则称这两个向量组等价. 向量组的等价具有自反性, 对称性 和传递性
例向量组 1=(1,2,3),a2=(1,0,2) β1=(3,4,8),阝2=(2,2,5)2P3=(0,2, 等价 定理526(替换定理)设向量组{α1,2,,x}线性无关,并且每 C都可由向量组{β1,β2,B}线性表示那么必有r≤,并且必要时 对{B13β2,B}重新编号,使得用α12a2,αx替换β,B2,B后所得 向量组(x12a2,O2B+12…,.}与{β1,B2…,β}等价 推论527两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量 定义4向量组{a1202,an}一个部分向量组{a12C12…,an}称 为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组),如果 ,线性无关 (i)每一都可以由线性n12表示 推论528两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量 特别地,一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量
例4 向量组 1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与 1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1) 等价. 定理5.2.6(替换定理) 设向量组{1 , 2 ,…, r}线性无关, 并且每 一i都可由向量组{1 , 2 ,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时 对{1 , 2 ,…, s}重新编号, 使得用1 , 2 ,…, r替换1 , 2 ,…, r后所得 向量组{1 , 2 ,…, r , r+1, …, s}与{1 , 2 ,…, s}等价. 推论5.2.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 定义 4 向量组{1 , 2 ,…, n}一个部分向量组{ }称 为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组), 如果 (i) 线性无关; (ii) 每一都可以由线性 表示. 推论5.2.8 两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量. 特别地, 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量. r i i i , , , 1 2 r i i i , , , 1 2 r i i i , , , 1 2
53基、维数、坐标 0一,基 n二,维数 0三,关于基和维数的几个结论 0四,坐标 五,过渡矩阵及向量在不同基下坐标的 关系 0六,过渡矩阵的性质
5.3 基、维数、坐标 一. 基 二. 维数 三. 关于基和维数的几个结论 四. 坐标 五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的 关系 六. 过渡矩阵的性质
基的概念 定义1设是数域F上的一个向量空间,中满足下列条件的向 量组{a12a2,,On}叫做的一个基 )x1,a2,ox线性无关; (i)V的每一个向量都可以由a1,a2,xn线性表示 例3由例1已知{1,E2,n}是F的一组生成元它也是线性无 关的因此{182,n}是F的一个基称其为P的标准基 例4在空间2中,任意两个不共线的向量a1,2都构成它的一个 基在空间3中,任意三个不共面的向量∞102,3都构成它的一个基 例5令M是数域F上的一切mx矩阵所成的向量空间.E表示 个m×n矩阵,除第第列的的元素是1外它的其余元素都是0.则所 有这些E(=1,2,,m,=1,2,n,共m个)是M的一个基
一. 基的概念 定义1 设V是数域F上的一个向量空间, V中满足下列条件的向 量组{1 , 2 ,…, n}叫做V的一个基. (i) 1 , 2 ,…, n线性无关; (ii) V的每一个向量都可以由1 , 2 ,…, n线性表示. 例3 由例1已知{1 , 2 ,…, n}是F n的一组生成元. 它也是线性无 关的. 因此{1 , 2 ,…, n}是F n的一个基. 称其为F n的标准基. 例4 在空间V2中, 任意两个不共线的向量1 , 2都构成它的一个 基. 在空间V3中, 任意三个不共面的向量1 ,2 ,3都构成它的一个基. 例5 令M是数域F上的一切mn矩阵所成的向量空间. Eij表示一 个mn矩阵, 除第i行第j列的的元素是1外它的其余元素都是0. 则所 有这些Eij(i=1,2,…,m, j=1,2,..n, 共 mn 个)是M的一个基