例3设81,82是上的两个正交单位向量,则它构成的一个基8 82分别是由8182旋转0角得到的两个向量,则它们也构成2的一个基 我们有 81=& cos0+8 sin e 82=-8 sin 6+8 cos0 因此从{81,82}到{81,82}的过渡矩阵是 8 cos6-sin 0 sin e cose 设的一个向量关于{1,82}和{81,82}的 8 坐标分别是{x,x2到{x1,x2}则由定 理5.5.2得: 0 cos6-sin 6 x sin e cose xI=xicos0-x, sin e x2=isin 0+x2 coS 这就是解析几何中旋转坐标轴的坐标变换公式
例3 设1 , 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基. 1 , 2 分别是由1 , 2旋转角得到的两个向量, 则它们也构成V2的一个基. 我们有 因此从{1 , 2}到{1 , 2 }的过渡矩阵是 设的一个向量关于{1 , 2}和{1 , 2 }的 坐标分别是{x1 , x2}到{x1 , x2 }, 则由定 理5.5.2得: 即 这就是解析几何中旋转坐标轴的坐标变换公式. sin cos cos sin 2 1 2 1 1 2 = − + = + − sin cos cos sin − = 2 1 2 1 sin cos cos sin x x x x sin cos cos sin 2 1 2 1 1 2 x x x x x x = + = − 1 1 2 2 O
六,过渡矩阵的性质 设从基{a1,02,axn}到基{β1B2,,Bn}的过渡矩阵是A,从基{B1 β2,Bn}到基{1,y2,yn}的过渡矩阵是B,则从基{a1,2,,n}到 基{Y1,y2,yn}的过渡矩阵是AB 定理5.310设在m(n>0)维向量空间中从基{a122,…,n}到基 B1,B2,Bn}的过渡矩阵是A,则A是一个可逆矩阵,并且从基{B1, B2,Bn}到基{1,2,Ox}的过渡矩阵是A1.任何一个可逆矩阵 都可以作为m(n>0)维向量空间中从一个基到另一个基的过渡矩阵 例4已知R中的向量∞x1=(-2,1,3),02=(-1,0,1),a3=(-2,-5,-1)证 明{(x1,a2,3}构成R3的一个基,并求向量2(412,6)关于这个基的坐 标 例5已知R3的两个基 {01=(-3,12-2),2=(1,-1,1),0x3=(2,3,-1)} B1=(1,1,1),阝2=(1,2,3),阝3=(2,0,1) 求从(x12a23}到{B12B2B3}的过渡矩阵
六. 过渡矩阵的性质 设从基{1 , 2 ,…, n}到基{1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是A,从基{1 , 2 ,…, n}到基{1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是B, 则从基{1 , 2 ,…, n}到 基{1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是AB. 定理5.3.10 设在n(n >0)维向量空间V中从基{1 , 2 ,…, n}到基 {1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是A, 则A是一个可逆矩阵, 并且从基{1 , 2 ,…, n} 到基{1 , 2 ,…, n}的过渡矩阵是A −1 . 任何一个可逆矩阵 都可以作为n(n >0)维向量空间中从一个基到另一个基的过渡矩阵. 例 4 已知R3中的向量1=(−2,1,3), 2=(−1,0,1), 3=(−2,−5,−1),证 明{1 , 2 , 3}构成R3的一个基, 并求向量=(4,12,6)关于这个基的坐 标. 例 5 已知R3的两个基 {1=(−3,1,−2), 2=(1, −1,1), 3=(2,3,−1)}, {1=(1,1,1), 2=(1,2,3), 3=(2,0,1)}. 求从{1 , 2 , 3}到{1 , 2 , 3}的过渡矩阵
54子空间 封闭性设是数域F上的一个向量空间,W是的一个非空子集 如果W中任意两个向量的和仍是W中的向量,则称W于的加法是 封闭的;如果F中的任意一个数与W中的任意一个向量的积仍是W中 的一个向量,则称对于的纯量乘法是封闭的 定理541设V是数域F上的一个向量空间,W是的一个非空子 集如果W对于的加法及纯量乘法是封闭的,那么W本身也是F上的 个向量空间. 定义1设是数域F上的一个向量空间,W是的一个非空子集 如果W对于的加法及纯量乘法是封闭的,则称W是的一个子空间 例1向量空间是其自身的一个子空间仅由零向量构成的集合 0}也的一个子空间,称其为墨空间 个向量空间本身和零空间叫做的平凡子空间的非平凡子空 间叫做的真子空间
5.4 子空间 封闭性 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W中任意两个向量的和仍是W中的向量, 则称W对于V的加法是 封闭的; 如果F中的任意一个数与W中的任意一个向量的积仍是W 中 的一个向量, 则称W对于V的纯量乘法是封闭的. 定理5.4.1 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子 集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 那么W本身也是F上的 一个向量空间. 定义1 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 则称W是V的一个子空间. 例1 向量空间V是其自身的一个子空间. 仅由零向量构成的集合 {0}也V的一个子空间, 称其为零空间. 一个向量空间本身和零空间叫做V的平凡子空间. V的非平凡子空 间叫做V的真子空间
例2在空间中平行于一条固定直线的向量构成的一个子空 间.在空间中平行于一条固定直线或一个固定平面的向量分别构 成V3的子空间 例3在P中一切形如(a1a2…,an1,0)的向量构成P的一个子空 例4Fx中一切次数不大于给定整数n的多项式连同零多项式 起构成Fx]的一个子空间 例5闭区间[a,b上的所有可微函数的集合构成C[a,b]的一个子 空间 定理542向量空间的一个非空子集W是的一个子空间,当且 仅当对于va,b∈F,Vx,B∈W,都有a+bB∈W 子空间的交与和设W1,W2是向量空间的两个子空间,则W⌒W2 及W1+W2={01+02|1∈W1,2∈W2}也的子空间,分别称为子空间W 与两2的交与和 有限个子空间的交仍是子空间有限个子空间的和仍是子空间
例2 在空间V2中平行于一条固定直线的向量构成V2的一个子空 间. 在空间V3中平行于一条固定直线或一个固定平面的向量分别构 成V3的子空间. 例3 在F n中一切形如(a1 , a2 , …, an−1 , 0)的向量构成F n的一个子空 间. 例4 F[x]中一切次数不大于给定整数n的多项式连同零多项式一 起构成F[x]的一个子空间. 例5 闭区间[a, b]上的所有可微函数的集合构成C[a, b]的一个子 空间. 定理5.4.2 向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间, 当且 仅当对于a,bF, , W, 都有a+bW. 子空间的交与和 设W1 , W2是向量空间V的两个子空间, 则W1 W2 及W1+W2={1+2 | 1W1 , 2W2}也V的子空间, 分别称为子空间W1 与W2的交与和. 有限个子空间的交仍是子空间,有限个子空间的和仍是子空间
生成元、生成子空间 设是数域F上的一个向量空间,x1,2,xn∈V.容易证明, Cx,x2,n的一切线性组合所成的集合是的一个子空间我们把这 个子空间称为由a1,2,,2生成的子空间,记作L(x1,a2…,On).把 Cx,2,x,称为这个子空间的一组生成元 例1考虑严中如下n个向量::=(0,,0.,1.0,.,0),=1,2,,n,E:中 除第个元素是1外其余位置的元素都是0.这n个向量是F的一组生成 元 例2考虑Fx]中,由多项式1,x,…,x生成的子空间是: (1,x,…,x2)={a+a1x+…+anxa∈F 这就是Fx的一切次数不大于m的多项式连同零多项式构成的子空间 定理551{0,02,On}是一组不全为零的向量,1O12…2a1n} 是他的一个极大线性无关组,则 n)=L12
生成元、生成子空间 设V是数域F上的一个向量空间, 1 , 2 ,…, nV. 容易证明, 1 ,2 ,…, n 的一切线性组合所成的集合是V的一个子空间. 我们把这 个子空间称为由1 , 2 ,…, n生成的子空间, 记作L(1 , 2 ,…, n ). 把 1 , 2 ,…, n称为这个子空间的一组生成元. 例1 考虑F n中如下n个向量: i =(0,…,0,1,0,…,0), i=1,2,…,n, i中 除第i个元素是1外其余位置的元素都是0. 这n个向量是F n的一组生成 元. 例2 考虑F[x]中, 由多项式1, x, …, x n生成的子空间是: L(1, x, …, x n )={a0+ a1x+ …+ anx n |aF} 这就是F[x]的一切次数不大于n的多项式连同零多项式构成的子空间. 定理5.5.1 {1 , 2 ,…,n}是一组不全为零的向量,{ } 是他的一个极大线性无关组, 则 L(1 , 2 ,…,n )=L( ). r i i i , , , 1 2 r i i i , , , 1 2