例6设V为正实数集,R为实数域,在V中 规定加法和数量乘法运算如下: GB=aB(即a与6的积) ka=ak(即a的k次幂) 其中a,B∈Vk∈R 对任意的a,B∈V,k∈R,有aB=aB∈V aB=ak∈V
例6 设V为正实数集，R为实数域，在V中 规定加法和数量乘法运算如下： = （即与的积） k = k （即的k次幂） 其中, V, kR. 对任意的 ， V , kR，有 = V, = k V. + ˆ ˆ + ˆ ˆ
并且,对任意的a,B,y∈V,k,m∈尺,有 1)a+B=aB-Ba=B+a 2)(a+)+y=(a)+y=(aBy=a(By)=a(By)=a+(B+y) 3)|a=1a=a,1是V中的零向量 4)对任意的a∈V,存在a1∈V,使得a+a-1=a-1 1,a1是a的负向 5k(a+B)=k(aB=(aB)k=akB k=ka +kB 6)(k+m).a= a k+m=akam=k-a maa 7(km).a=akm=(am)k=k cam=ko(m aa) 8)1:a=a 所以,V对我们定义的加法和数乘运算作成数域尺上的向量空间
并且，对任意的 , , V，k,m R，有 5) k ( )=k ()=() k=k k=k k ； 4) 对任意的 V，存在 -1 V，使得 -1 = -1 =1， -1是的负向量. 1) = = = 2) ( + ˆ ) + ˆ =() =() =( )= ( )= ( ) + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ 3) I + ˆ =1 = ，1是V中的零向量； ˆ + ˆ ˆ ˆ + ˆ 6) (k+m) = k+m =km=k m ˆ ˆ ˆ + ˆ ˆ 7) (km) =km=(m) k =k m ˆ ˆ =k (m ˆ ) 8) 1 = 1 = . ˆ ˆ 所以，v对我们定义的加法和数乘运算作成数域R上的向量空间. + ˆ + ˆ
例7令V是次数等于n的全体实系数多项 式组成的集合 因为两个m次多项式的和未必是n次多项式 例如,f(×)=xn-1,9(x)=-+x,则f(x)+ g(x)=X-1,不再是n次多项式 所以在多项式的加法及数与多项式的乘法 运算下,V不是实数域R上的向量空间
例7 令V是次数等于n的全体实系数多项 式组成的集合. 因为两个n次多项式的和未必是n次多项式. 例如，f (x)＝x n－1, g(x)＝－x n+x，则f (x)＋ g(x) =x-1，不再是n次多项式. 所以在多项式的加法及数与多项式的乘法 运算下，V不是实数域R上的向量空间
例8任意数域F总可以看成它自身上的向量空间 例9实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上 的一个向量空间 二.性质 命题5,1.1在一个向量空间中,零向量是唯一的;对 于V中的每一向量a,a的负向量是由c唯一确定的.的负 向量记作-a 命题51,2对于任意向量和任意数a都有: 0=0,a0=0 a(-a)=(-a)0=-a0 a0=0→a=0或a=0
例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间. 例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上 的一个向量空间. 二. 性质 命题5.1.1 在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对 于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负 向量记作 −. 命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有: 0=0, a0=0. a(−)=(−a) = −a. a=0a=0 或 =0
约定 设是数域F上的一个向量空间 如果a是F中的一个数,是中的一个向量,我们约定a=a 设a1,2,,On,是中的n个向量,以它们为元素写成一个1×n矩阵 (α1,2…,ax).再设A是F上的一个nXm阶矩阵则我们可以像普通矩 阵的乘法一样,将(a1,2,an)和A相乘,但是(x122,On)4的结果 是一个以向量为元素的矩阵,即: (12a2,On)A=(β1B2,Bm) 其中 aa a.c. =a,a +a 1≤j≤m 可以证明:(01,(2,…,On)AB)=(x1,2…OnMB i=1
三. 约定 设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定a=a. 设1 , 2 ,…, n ,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1 , 2 ,…, n ). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1 , 2 ,…, n )和A相乘, 但是 (1 , 2 ,…, n )A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即: (1 , 2 ,…, n )A=(1 , 2 ,…, m) 其中: 可以证明: (1 , 2 ,…, n )(AB)=((1 , 2 ,…, n )A)B. , 1 . 1 1 2 2 1 1 a a a j a j an j n j m n i ij j n i j = j ij = = + + + = =