例4设Mmn(闩是数域F上全体m×矩阵的集合,对任意的 A,B∈Mmn(P,A+B∈Mmnn(P,对任意的k∈F,kA∈Mmn(P 并且对任意的mxn矩阵A,B,C及任意的F中的数a,b,有 1)A+B=B+A; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)0+A=A; 4)对任意的A∈Mmn(F,存在B,使得A+B=0 5)(A+B=aA+aB: 6)(a+b)A=aA+bA; 7(ab)A=a(bA) 8)1A=A
例4 设Mmn (F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn (F) ，A+B Mmn (F), 对任意的k F，kA Mmn (F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有 1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A Mmn (F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ； 8) 1A=A
上面例子中涉及的数学对象不同,但它们有共同点 即都有一个非空集合,一个数域,有两种运算,并且这两 种运算满足8条运算律。 C, R 1)a+B=B+a a+b, ka 2)(a++y=a+(+y) 3)0+a=a 例2 Vo, R X+Y, X 4)对任意a,存在,使得 a+B=0,称为a的负元素; 例3:Fn],F 5a(a+B=aa+. B f(x)+g(x), kf(x) 6)(a+b).a=a.a+ba: 7 a(ba=(ab).a 例4:Mm(,F A+B, KA 8)1·a=a
上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点， 即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两 种运算满足8条运算律。 例 1： C, R a+b，ka 例 2 ： V2 ， R X+Y ，kX 例 3： Fn [x] ，F f(x)+g(x) , kf(x) 例 4： Mmn (F), F A+B，kA —————————————------—— - 1) += + ； 2) ( +)+ ＝ + (+ ) 3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ； 8) 1 =
二、向量空间的定义 定义1设V是一个非空集合,F是一个数域.我们 把V中的元素用小写希腊字母a,B,y,…来表示 把F中的元素用a,b,C,…来表示.如果下列条件 被满足,就称V是F上的一个向量空间: 1°V有一种加法运算.即对中任意两个元素a和 B,在V中有一个唯一确定的元素与之对应,称为a 与B的和,记为a+B 2°有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于 F中的任意数a和V中的任意元素a,在V有一个唯 确定的元素与之对应,称为a和α的数量积,记为 a. a
二、向量空间的定义 定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们 把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示， 把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间： 1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 . 2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于 F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为 a . + ˆ ˆ
3°上述加法和数量乘法满足下列运算规律: 1)a+B=B+a; 2)(a年)+y=a+(B+); 3)在V中存在一个元素0,使得对于任意a∈V,都有 0+a=a,(具有这个性质的元素0称为∨的零元素); 4)对于V中的每一个元素a,存在V中的元素β,使得 a+B=0,(具有这个性质的元素B叫做a的负元素) 5a(a tB)=aa taB 6)(a+b)2=a:ab; 7)(ab):a=a?(b:a) 8)1a=a 这里a,B,是V的任意元素,a,b是中的任意数
3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律： 1) = ； 2) ( ) ＝ ( ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0 = ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得 ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ( ) = a a ； 6) (a+b) =a b ； 7) (ab) =a (b ) ； 8) 1 = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数. + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ + ˆ
三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知,复数域C作成实数域R上的向量空间; V2作成实数域R上的向量空间;Fn]作成数 域F上的向量空间;Mnxn(F作成数域F上的 向量空间 例5令C[a,的为闭区间a,b上所有实连 续函数的集合,R为实数域。则C[a,b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域尺上的向量空间
例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间. 三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知，复数域C作成实数域R上的向量空间； V2作成实数域R上的向量空间； Fn [x] 作成数 域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的 向量空间