中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第一章 绪论（主讲：韩超）

例7 计算积分I(n)=e-"f,x"e*dx (1.1) (n=0,1,2,..,9)I(0)=1-e-1≤算法1：直接积分由分部积分法可得I(n)= 1-nl(n-1)2直 I(0) =1-e-l ~ 0.6321= To取选代初值i, =1-ni.由递推公式寻I, = 0.3679,..,I,= -0.7280,1, = 7.552计算得

例7 计算积分 1 1 0 ( ) (1.1) ( 0,1,2, ,9) n x I n e x e dx n     由分部积分法可得 I n nI n ( ) 1 ( 1)    取迭代初值 由递推公式 1 1 n n I nI    计算得 1 8 9 I I I     0.3679, , 0.7280, 7.552 1 I e (0) 1  算法1: 直接积分   0 1 ~ I(0)  1 e  0.6321 I 

e=e-'t"dxs In=e-f'"e*dxse-',x"edx=(n + 1)en+ 1shsgoshsl10外而 I： =-0.7280,Ig = 7.552可见递推计算结果严重失真算法不稳定，结果不可靠

   1 0 1 e x dx n 算法不稳定，结果不可靠。    1 0 1 I e x e dx n x n , 9 1 9 1   I 8  e 1 1   n  (n  1)e 1    1 0 1 e x edx n 10 1 10 1  I 9  e 7.552 ~ 0.7280, ~ 而 I8   I9  可见递推计算结果严重失真

1?0算法2易知0<I(n)≤n+1取 1o=0将迭代格式 I,=1-nl 变形成如下格式i.,-l-i(n = 10,9,..-,2,1)n计算结果相当好算法稳定，结果可靠1)稳定性：若一种算法的初始误差和舍入误差在运算过程中不增长，则称此算法是稳定的

取 1 1 ( 10,9, ,2,1) n n I I n n     将迭代格式 I nI n n  1 1 变形成如下格式 计算结果相当好 1 0 ( ) 0 1 I n n     算法2 易知 10 I  0 算法稳定，结果可靠。 1) 稳定性: 若一种算法的初始误差和舍入误差在运算 过程中不增长，则称此算法是稳定的

2)误差分析I, =1-nl,- (n=1,2,...,9) (*)区算法1记 s, = I(n)- i,则 , =I(n)-i, =(1-nl(n-1)-(1-ni,-1)=-n(I(n-1)- In-1)=-ngn-i= -n[-(n - 1)]8n-2 =...=(-1)" n!80误差逐渐增大，(*)式不稳定

1 1 ( 1,2, ,9) ( ) n n I nI n      2) 误差分析 算法1 记 ( ) n n    I n I 则 1 ( ) (1 ( 1)) (1 ) n n n  I n I nI n nI         1 1 ( ( 1) ) n I n I n n n          2 0 [ ( 1)] ( 1) ! n n n n  n          误差逐渐增大，(*)式不稳定