涟性概念的增量彩式 定义 设f(x)在Ux)内有定义.若 limn△y=0(Ax=x-x0) △x->0 则称f(x)在点x处连续 自变量的増量趋于零时函数的增量也趋于零
连续性概念的增量形式 lim 0 0 = → y x ( ) 0 x = x − x 则称 f (x) 在点 x0 处连续. 设 f (x) 在 U(x0 ) 内有定义. 若 定义 自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零
4.函数的左、右连续性 定义 设函数f(x)在[x2x+)内有定义.若 lim f(x)=f(o) 则称f(x)在x点处右连续 设函数f(x)在(x-,x0]内有定义.若 lm f(x)=f(ro) x→x 则称f(x)在x点处左连续 其中,δ>0为任意常数
4.函数的左、右连续性 设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义. 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + 则称 f (x) 在 x0 点处右连续. 设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 则称 f (x) 在 x0 点处左连续. 其中, 为任意常数. lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 定义
定理 lim f(x)=f(o)< lim f(x)=lm f(x)=f(o) x→)x 0 函数在点x连续,等价于它在点x既 左连续叉右连续
lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 f x f x f x x x x x = = → + → − 函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0既 左连续又右连续. 定理
例2讨论y=|x,x∈(∞,+∞)在点x=0处 勺连续性 X 解:lim|x=0 x->0 0 0 X ∴y=x在点X=0处连续
讨论 y = | x |, x(−+) 在点 x = 0 处 lim | | 0 0 = → x x | | 0 0 0 = = x= x= y x y = | x | 在点 x = 0 处连续. x y y = | x | O 的连续性. 例2 解
例3讨论y=Sgx在点x=0处的连续性 3x>0 解sgnx=10,x=0 1.x<0 lim sgn x= lim 1=1 x→>0 x-0 lim sgn x= lim(1)=-1 x-0 sgn xlo=sgn 0=0 故符号函数y=gnx在点x=0处不连续
讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性. sgn x＝ 1, x > 0, lim sgn lim 1 1 0 0 = = → + → + x x x lim sgn lim ( 1) 1 0 0 = − = − → − → − x x x sgn x|x=0=sgn 0 = 0 故符号函数y = sgn x 在点 x = 0 处不连续. 0, x = 0, −1, x < 0. 例3 解