x<1 例4讨论函数f(x) x+1,x>1, 在x=1处的连续性 解|∵f(1)=x21-=1 lim f(x)=lim x2=1 lim f(x)=lim (x+1)=2 x→1 函数f(x)在点x=1处不连续 但由于lmf(x)=1=f(1) 故函数f(x)在点x=1处是左连续的
讨论函数 f (x) = x 2 , x 1, 在 x = 1 处的连续性. lim ( ) lim 1 2 1 1 = = → − → − f x x x x lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 = + = → + → + f x x x x (1) 1, 1 2 f = x x= = 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续. 故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的. x + 1, x >1, 但由于 lim ( ) 1 (1) 1 f x f x = = → − 例4 解
5.函数在区间上的连续性 定义 设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义 若∨xo∈(a,b)2f(x)在点x处连续, 则称∫(x)在开区间(ab内连续,记为 f(x)∈C((a,b))
5.函数在区间上的连续性 设函数 f (x) 在开区间(a, b) 内有定义. 若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续, 则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为 f (x)C( (a, b) ). 定义
定义 若f(x)∈C(a,b)),且f(x)在x=a处 右连续.在端点x=b处左连续.则称函数 f(x)在闭区间[a,b上连续,记为 f(x)∈C([a,b]) 对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性
若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处 右连续, 在端点x = b 处左连续, 则称函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 记为 f (x)C( [a, b] ). 对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性 定义
般地,如果函数f(x)在区间 上连续,则记为f(x)∈C()
一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) C( I )
例5 介绍李普希茨( Lipschitz)连续性 赫尔德( holder)连续性 如果存在常数L使得∨x,x2∈[a,b]有 f(x1)-f(x2)≤L|x-x2 成立则称∫(x)在[a,b]上是李普希茨连续的 其中f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2称为李普希茨条件 如果f(x)在[ab]上是李普希茨连续的 则f(x)∈C([a,b]).反之不真
例5 介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、 赫尔德(hölder)连续性. , ( ) [ , ] . | ( ) ( ) | | | , [ , ], 1 2 1 2 1 2 成立 则称 在 上是李普希茨连续的 如果存在常数 使得 有 f x a b f x f x L x x L x x a b − − , | ( ) ( )| | | . 其中 f x1 − f x2 L x1 − x2 称为李普希茨条件 ( ) ([ , ]). . ( ) [ , ] , 则 反之不真 如果 在 上是李普希茨连续的 f x C a b f x a b