⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、导数的定义 1函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Ax(点 x+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量y=∫(x+△x)-f(x);如果与 △x之比当Ax→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数p=f(x)在点x处的导数记为1= Tianjin Polytechnic
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、导数的定义 定义 ( ) , ( ) 0 ( ) ( ); ) ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数,记 为 在 点 处可导,并称这个极限为函 之比当 时的极限存在,则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 , 相应地函数 取 有定义,当自变量 在 处取得增量 点 设函数 在 点 的某个邻域内 1 函数在一点处的导数与导函数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 中y 或 df(x) 即 Ay f(xn+△x)-f(xn) y|x=x△x→0△c△r→0 = △ 其它形式 f(o=lim ∫(x0+h)-f(x0) h→0 h f(ro=lim f(r)-f(x x→ Tianjin Polytechnic
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x x0 dx dy = x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 即 0 , ( ) x x0 dx df x 或 =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于导数的说明: ★点导数是因变量在点处的变化率它 反映了因变量随自变量的变{变化的快 慢程度 ★如果函数y=f(x)在开区间内的每点 处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导 Tianjin Polytechnic
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 慢程度. 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 ( ) . ( ) 处都可导,就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I 关于导数的说明： ★ ★
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ★对于任一x∈l,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值.这个函数叫憾原来函数f(x)的导函数 记作y,f(x,2或(x) 即y=lim ∫(x+△x)-f(x) △->0 △v 或f(x)=lim f(x+h)-∫(x) h→0 h 注意:L.f(x)=f(x Tianjin Polytechnic
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) , ( ), ( ) , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记 作 或 导数值.这个函数叫做原来函数 的导函数. 对于任一 都对应着 的一个确定的 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = = ★ . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 或
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2求导数举例 步骤:(1)求增量Δy=f(x+△x)-f(x); (2)算比笸_。∫(x+△x)-f(x) △ △ (3)求极限y=imn4y △x+0△v 例1求函数f(x)=C(C为常数的导数 解f(以)=mimf(x+h)-f(x)=mC =0 h→>0 h h→01 (C)=0 Tianjin Polytechnic
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h C C h − = →0 lim = 0. 2 求导数举例 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) x f x x f x x y + − = (2)算比值 lim . 0 x y y x = → (3)求极限 即 (C) = 0