引理5.4.3设A为阶对称矩阵，是A的特征方程的 r重根，则矩阵A一九E的秩为-r,从而对应特征值入 恰有r个线性无关的特征向量. 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则有正交矩阵P, 使PAP=人，其中人是以A的个特征值为对角元 素的对角矩阵。 证明设4的的互不相等的特征值为2，入2，.，入， 它们的重数依次为，2，.，(+2+.+r=)
1 5.4.1 , , , . A n P P AP A n − = 设 为 阶实对称矩阵 则有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元 素的对 定 角矩阵 理 证明 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为 s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r − − 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理
根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引理 5.4.3(如上)可得： 对应的特征值2(i=1,2,.,S)恰有线性无关的实特征 向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特 征向量，并由+.+=n,可知，这样的特征向量共有 n个. 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交，故 这n个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 P-1AP=P-PΛ=A
根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引理 5.4.3( 如上)可得： 由引理5.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交,故 这n个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵P，则 = = − − P AP P P 1 1 . , , , , , ( 1,2, , ) 1 个 征向量 并由 可知 这样的特征向量共有 向量 把它们正交化并单位化 即得 个单位正交的特 对应的特征值 恰有线性无关的实特征 n r r n r i s s i i + + = =
其中对角矩阵A的对角元素含个，.，个2，恰 是A的n个特征值. 二、实对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值 2由(A-2,E)x=0,求出4的特征向量； 3将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值 1 1 , , , . s s r r A n 其中对角矩阵的对角元素含 个 个 恰 是 的 个特征值
40 0 例1设A= 0 31,求正交矩阵P,使P-1AP 0 13 为对角形矩阵。 解()第一步求A的特征值 4-元 0 0 A-E= 0 3-1 =(2-2)(4-2)2, 0 1 3-元 得特征值21=2，入2=几3=4
− − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E 2 = − − (2 )(4 ) , 2, 4. 得特征值 1 = 2 = 3 = 1 4 0 0 1 0 3 1 0 1 3 . A P P AP − = 例 设 ，求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵 解 (1)第一步 求A的特征值