二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2元的周期函数，且 f(x)= +∑n+b,stn) 00 2 n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔a,=(cos=0.1,- 2 1b,=∫))simd=1,2, 证：由定理条件，对①在[-π，π]逐项积分，得 /wh-2jax+onjeasdk+. sin nx dx -π 下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
a0= "f(x)dx coskxdx+ cococsin d =acos"ko dx ak (利用正交性) a4=Jf八x)coskdx(k=1,2,） 类似地，用sikx乘①式两边，再逐项积分可得
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)= g+(a,cos+b,sm） an 2fx)cosdx(n=0,l,.) f(x)sinnxdx(n=1,2,.） 由公式②确定的an,b称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.J 上页下页返回结束
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理3（收敛定理，展开定理） 设f(x)是周期为2π的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 00 a+∑ an cos nx+b,sin nx） 件比展成幂级数 的条件低得多 f(x), x为连续点 1fx)+fx) x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略） 返回
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 -π≤x<0 f(x) 0≤x<π 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 a,=-["f(x)cosmdx 入 一π 1rπ =0 (n=0,1,2,.） 下页返回结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束