东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第七章 Fourier变换

Ee 2E,0T SIn 复变函数与积兮变换 2 故频谱为 F(Q)=rEsin 2 ET (如图所示) 674 2 2丌 4 67

 |F()| O E 2  4  6  2   4   6   2 2 2 ( ) sin . 2 i t Ee E F i             故频谱为 1 ( ) 2 sin . 2 F E     (如图所示)

7.1.2 Fourier变换的性质 复变数与 以下假定所讨论的函数满足 Fourier积分定理 的条件 利(1)线性性质设么B是常数,F(O)=FUf(O) 安/21)=PU/(O),则 换 F la(t)+Bf(t=aF(o)+BF2(O) =cBIf()l+βFIf2()l F-laFo)+BF2O=aFIF(o)+ BFF2(@)

7.1.2 Fourier变换的性质 以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理 的条件. (1) 线性性质 设a,  是常数， 1 1 F () F [ f (t)], 2 2 F () F [ f (t)], 则 1 2 1 2 F [a f (t)   f (t)]  aF ()  F () 1 2  aF [ f (t)] F [ f (t)]. 1 1 1 1 2 1 2 [aF ()  F ()] a [F ()]  [F ()].    F   F  F

复(2)对称性质设F(a)=FUf(),则 变 F[F(t)]=2丌∫(-O) 刻证明由 a Fourieri变换有f()=,Jmr(a-dat 积 分于是f() ∫ F(o)eodo.将t与a互换,则 2丌 变 换 f(-m)= F(te dt, 2丌 所以F[F()l=2m∫(-) 特别地,若f()是偶函数,则F|F()l=2f()

(2) 对称性质 设 F() F [ f (t)], 则 F [F(t)]  2 f (). 证明 由Fourier逆变换有 1 ( ) ( ) d . 2 i t f t F e         于是 1 ( ) ( ) d . 2 i t f t F e           将t与互换, 则 1 ( ) ( ) d , 2 i t f F t e t          所以F [F(t)]  2 f (). 特别地, 若f (t)是偶函数, 则F [F(t)]  2 f ()

sin t 例7.5求∫(t) 的频谱函数 复变函数与积分变一 解由例74知,单位幅度(即E=1)的矩形脉冲 与函数P()的频谱函数为 F Ip(t=-sin 换当=2时,根据 Fourier ∫( 变换的线性性质

2 [ ( )] sin . 2 p t    F  例7.5 求 的频谱函数. sin ( ) t f t t  f (t) t o 函数p (t) 的频谱函数为 当 =2时, 根据Fourier 变换的线性性质 由 知, 单位幅度 (即E=1) 的矩形脉冲

复 SIna F|P2() 变 数其中2几2()是宽度为2,幅度为的2矩形脉冲函数, 与它是偶函数由 Fourier变换的对称性质, 积 sin t F(o) 变 Ff(=F 换 =2·P2(O) 兀,o|<l; 10,/ol>1.宽度为2幅度为z的矩形脉冲函数

2 1 sin ( ) , 2 p t          F 其中 2 是宽度为2, 幅度为的 矩形脉冲函数, 1 ( ) 2 p t 1 2 它是偶函数. 由Fourier变换的 , sin [ ( )] t f t t        F F , 1; 0, 1.           2 1 2 ( ) 2    p  1 o 1   F() . . . 宽度为2 幅度为 的矩形脉冲函数