对应的线性方程组 十 r+1 十 nn 2r+1~r+1 n +cr+1r+1+ In 移项后得:[x1=- Cx +d 1 2r+1~r+1 r +d 2mm rr+1-r+1 十 rn 自由未知量的个数mr(4)个 若令x+1=k 2 2 2011/9/3
2011/9/3 6 对应的线性方程组 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 r r m m r r m m r rr r rm m r x c x c x d x c x c x d x c x c x d 移项后得： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 r r m m r r m m r rr r rm m r x c x c x d x c x c x d x c x c x d 自由未知量的个数 m-r (A) 个 若令 1 1 , r x k 2 2 , x k r , x k m m r
得: td 2 2r+11 2 十 +d rr+I rnn一r k2 1925 ,kmr为任意常数 2011/9/3
2011/9/3 7 得： 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 r m m r r m m r r rr rm m r r r r m m r x c k c k d x c k c k d x c k c k d x k x k x k 1 2 , , , m r k k k 为任意常数
定理: 对一般的m元非齐次线性方程组 B 1)当r(A)<r(A)时,方程组无解; 2)当r(4)=r(A)=m(未知量个数)时, 方程组有唯一解; 3)当r(A)=r(4)<m(未知量个数)时, 方程组有无穷多组解。 2011/9/3
2011/9/3 8 定理： 对一般的m 元非齐次线性方程组 A X B n m m n 1 1 1）当 r A r A ( ) ( ) 时，方程组无解； 2）当 r A r A m ( ) ( ) （未知量个数）时， 方程组有唯一解； 3）当 r A r A m ( ) ( ) （未知量个数）时， 方程组有无穷多组解
相应的齐次线性方程组(1+a12+…+amxm=0 nx,+a1,X2+∴+a2x.=0 n×mx-mx1 a.,X,+aX,+…+ax=0 总是有解的,X=x2= 0(X=0 所以,齐次线性方程组只有两种情况 1)当r(4)=r=m(未知量个数)时, 方程组有唯一零解; 2)当r(A)=r<m(未知量个数)时, 方程组有无穷多组非零解。 此时,齐次线性方程组有r个独立未知量, r个独立方程,mr个自由未知量。 2011/9/3 9
2011/9/3 9 相应的齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 m m m m n n nm m a x a x a x a x a x a x a x a x a x 即： 1 0 A X n m m 总是有解的， 1 2 0 ( 0 ) m x x x X 所以，齐次线性方程组只有两种情况 1）当 r A r m ( ) （未知量个数）时， 方程组有唯一零解； 2）当 r A r m ( ) （未知量个数）时， 方程组有无穷多组非零解。 r 个独立方程，m-r 个自由未知量。 此时，齐次线性方程组有r 个独立未知量