冷定理15.16(环同态基本定理):如果q为环 R到环S的同态映射,K=Kerq,则R/K同构 于φ(R)。当q是满同态时,则RK同构于S。 冷证明:1构造R/K到p(R的表达式 令(1(K+r)=p(r) 冷(2)验证这是映射,并且是同态的 冷2证明是双射
❖ 定理15.16(环同态基本定理)：如果为环 R到环S的同态映射,K=Ker,则R/K同构 于(R)。当是满同态时，则R/K同构于S。 ❖ 证明：1.构造R/K到(R)的表达式 ❖ (1)f(K+r)=(r) ❖ (2)验证这是映射，并且是同态的 ❖ 2.证明f是双射
例:证明Rx/x2+1≥C,这里的R为实数 域 证明:用环同态基本定理。 冷作φ:R[x]-→>C,(敢(x)=1)∈C,其中=-1 这是一个环同态映射,且为满射 其中K(q)={(x)∈R[x](=0}。 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也 是K(q)中多项式的根,这样K(q)中多项式 皆有因式x2+1,即K(q)=(x2+1) 冷由同态基本定理知R[x/k(0)(2+=C
❖ 例：证明R[x]/(x2+1)C, 这里的R为实数 域 ❖ 证明：用环同态基本定理。 ❖ 作:R[x]→C, (f(x))=f(i)C,其中i 2=-1。 这是一个环同态映射, 且为满射。 ❖ 其中K()={f(x)R[x]|f(i)=0}。 ❖ 根据实系数多项式的复根共轭原理知-i也 是K()中多项式的根, 这样K()中多项式 皆有因式x 2+1, 即K()=(x2+1)。 ❖ 由同态基本定理知R[x]/K()=(x2+1)C
第十六章域 方程x2-2=0 有理数域内无解 扩充到实数域中则有解。 域扩张
第十六章 域 ❖ 方程x 2 -2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张