（5.3.11）式表明x2与时间t成正比，而不是与t2成正比。这个关系式最早是由爱因斯坦得一的大小，设布朗到的。下面将会证明比例系数D就是布朗粒子的扩散系数。现在来估算，m粒子是半径为α、密度为p的小球，则α_9n(5.3.13)m2ap在皮兰的实验中，布朗粒子的密度p=1.19×10kg·m-，半径a的平均值为3.69×10-m，流体介质是水，水的粘滞系数n=1.14×10-3Pa·s。将这些数据代入（5.3.13）式，得α=3.2×10′ s-lm因此，经极短的时间后，例如t>0.1ms后，布朗粒子位移平方的平均值可用（5.3.11）式表示。皮兰的实验结果证实了（5.3.11）式。实验是在显微镜下观测一个布朗粒子的运动。设(ααt》1测量一次粒子的位移△x。在t=pt(p》1)时间内共测量p每经过时间间隔T(m次，这p次的位移分别是△r，△xz，，△x。，粒子的总位移为PAxx：台位移的平方为P-2Ax,A, =Z(Ax,) +EEAx,Ax,(5.3.14)i=li=l j=litj由于所取时间间隔T足够长，相继观察的各次位移△x是统计独立的，因此有Ax,Ax, = Ax,Ax, = 0(i*)-Z(Ax,)= p(Ax)°-(Axr)(5.3.15)由于相继相继观察的各次位移△x,是统计独立的，因此，对一个布朗粒子的多次（p》1）观察得到的位移平方平均值（△x）（时间平均值）等于对大量的各自独立的布朗粒子位移平方平均值（系综平均值）。因此，（Ar）也可看作大量的布朗粒子在T时间间隔内位移平方的平均值。把（5.315）式与（5.3.11）式比较，得(Ar)° =2Dt(5.3.16)194
194 （5.3.11）式表明 2 x 与时间 t 成正比，而不是与 2 t 成正比。这个关系式最早是由爱因斯坦得 到的。下面将会证明比例系数 D 就是布朗粒子的扩散系数。现在来估算 m 的大小，设布朗 粒子是半径为 a 、密度为 的小球，则 2 9 m a2 = （5.3.13） 在皮兰的实验中，布朗粒子的密度 3 3 1.19 10 kg m− = ，半径 a 的平均值为 7 3.69 10 m − ， 流体介质是水，水的粘滞系数 3 1.14 10 Pa s − = 。将这些数据代入（5.3.13）式，得 7 1 3.2 10 s m − = 因此，经极短的时间后，例如 t ms 0.1 后，布朗粒子位移平方的平均值可用（5.3.11）式表 示。 皮兰的实验结果証实了（5.3.11）式。实验是在显微镜下观测一个布朗粒子的运动。设 每经过时间间隔 1 m 测量一次粒子的位移 x 。在 t p p = ( 1) 时间内共测量 p 次，这 p 次的位移分别是 1 2 , , , p x x x ，粒子的总位移为 1 p i i x x = = 位移的平方为 ( ) 2 2 1 1 1 p p p i j i i j i j i i i j x x x x x x = = = = = + （5.3.14） 由于所取时间间隔 足够长，相继观察的各次位移 x 是统计独立的，因此有 = = x x x x i j i j i j 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 p i i t x x p x x = = = = （5.3.15） 由于相继相继观察的各次位移 i x 是统计独立的，因此，对一个布朗粒子的多次（ p 1 ） 观察得到的位移平方平均值 ( ) 2 x （时间平均值）等于对大量的各自独立的布朗粒子位移平 方平均值（系综平均值）。因此， ( ) 2 x 也可看作大量的布朗粒子在 时间间隔内位移平方 的平均值。把（5.315）式与（5.3.11）式比较，得 ( ) 2 = x D2 （5.3.16）
在皮兰的实验中，每隔30秒测量一次粒子位移，计算粒子位移平方的平均值。实验得到的粒子位移平方的平均值（△x）与观测时间t及温度T成正比，与粘滞系数n成反比，与粒子的质量无关，证实了（5.3.16）式。如果由实验得到了D，代入（5.3.12）式，还可得到玻尔兹曼常数k。皮兰用当时的实验数据求得了k=1.215×10-23J.K-1。他还利用质量相差1500倍的布朗粒子做实验，得到的K值在实验误差范围内是相同的。因此，粒子位移平方的平均值的确与粒子的质量无关。皮兰的实验证明了布朗运动的朗之万理论的正确性。爱因斯坦和朗之方的关于布朗运动的统计理论和皮兰的实验曾对物质原子论的最终确立起了决定性作用。值得指出，（5.3.11）式所表示的位移平方的平均值x2与时间t成正比是随机过程的典型结果。在时间间隔t内，布朗粒子实际上作了许多次无规的往返运动，x是布朗粒子在无规运动中的净位移，x2αt。这与单纯的机械运动不同，机械运动的位移x与时间t成正比，KT若粒子以平均速率，作机械运动，则经过时间t后，粒子位移平方的平均值为VmF_2m与1成正比，这正是（5.3.10）式所示的在1"时的结果。α二．爱因斯坦一斯莫卢霍夫斯基理论爱因斯坦把布朗运动作为“无规行走问题”来研究。为简单起见，仍限于讨论一维运动，设t=0时布朗粒子在x(O)=O的位置。假设流体分子与布朗粒子的每次碰撞将使布朗粒子沿x轴的正向或负向移动一小段距离S，即△x=土S，向正向和负向移动的概率相等。就平均来说，每隔t*时间间隔发生一次碰撞，而且布朗粒子的各次碰撞彼此不相关。在这些条件下，求在时刻t布朗粒子移动到x处的概率。在t时间内布朗粒子受碰撞而发生移动的总次T向x正向移动的次数比向负向移动的次数多m=兰，数n=因此，粒子朝x正向运动o(n+m)，朝x负向移动的次数是(的次数是一（n-m），在时刻t布朗粒子移动到x处的概21率由二项式分布给出nP,(m)=(5.3.17)(n+m)因为t和x是宏观量，而t*和S是微观量，故n和m均为远大于1的整数，且n和m具有相同的奇偶性。若n为奇数，则m只能取奇数；若n为偶数，则m只能取偶数。m可能取值的间隔△m=2。由二项式分布（5.3.17）式可得195
195 在皮兰的实验中，每隔 30 秒测量一次粒子位移，计算粒子位移平方的平均值。实验得到的 粒子位移平方的平均值 ( ) 2 x 与观测时间 及温度 T 成正比，与粘滞系数 成反比，与粒子 的质量无关，证实了（5.3.16）式。如果由实验得到了 D，代入（5.3.12）式，还可得到玻尔 兹曼常数 k 。皮兰用当时的实验数据求得了 23 1 k J K 1.215 10− − = 。他还利用质量相差1500 倍的布朗粒子做实验，得到的 k 值在实验误差范围内是相同的。因此，粒子位移平方的平均 值的确与粒子的质量无关。皮兰的实验证明了布朗运动的朗之万理论的正确性。爱因斯坦和 朗之万的关于布朗运动的统计理论和皮兰的实验曾对物质原子论的最终确立起了决定性作 用。 值得指出，（5.3.11）式所表示的位移平方的平均值 2 x 与时间 t 成正比是随机过程的典 型结果。在时间间隔 t 内，布朗粒子实际上作了许多次无规的往返运动，x 是布朗粒子在无 规运动中的净位移， 2 x t 。这与单纯的机械运动不同，机械运动的位移 x 与时间 t 成正比， 若粒子以平均速率 kT m 作机械运动，则经过时间 t 后，粒子位移平方的平均值为 2 2 kT x t m = 与 2 t 成正比，这正是（5.3.10）式所示的在 m t 时的结果。 二．爱因斯坦－斯莫卢霍夫斯基理论 爱因斯坦把布朗运动作为“无规行走问题”来研究。为简单起见，仍限于讨论一维运动， 设 t＝0 时布朗粒子在 x(0 0 ) = 的位置。假设流体分子与布朗粒子的每次碰撞将使布朗粒子 沿 x 轴的正向或负向移动一小段距离 ，即 = x ，向正向和负向移动的概率相等。就平 均来说，每隔 时间间隔发生一次碰撞，而且布朗粒子的各次碰撞彼此不相关。在这些条件 下，求在时刻 t 布朗粒子移动到 x 处的概率。在 t 时间内布朗粒子受碰撞而发生移动的总次 数 t n = ，向 x 正向移动的次数比向负向移动的次数多 x m = ，因此，粒子朝 x 正向运动 的次数是 ( ) 1 2 n m+ ，朝 x 负向移动的次数是 ( ) 1 2 n m− ，在时刻 t 布朗粒子移动到 x 处的概 率由二项式分布给出 ( ) 1 ! 2 ! ! 2 2 n n n p m n m n m = + − （5.3.17） 因为 t x 和 是宏观量，而 和 是微观量，故 n m 和 均为远大于 1 的整数，且 n m 和 具有相 同的奇偶性。若 n 为奇数，则 m 只能取奇数；若 n 为偶数，则 m 只能取偶数。m 可能取值 的间隔 = m 2 。由二项式分布（5.3.17）式可得