黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第十二章 微分方程

注意:全微分方程 aP 0Q ay ax 解法应用曲线积分与路径无关 u(x,D)=P(x,y)dx+o(ro,y)dy ∫o(xy+P(x,)dx 通解为(x,y)=C 用直接凑全微分的方法 上页

x Q y P   =   注意： 全微分方程  解法 应用曲线积分与路径无关.   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y  = + u(x, y) = C . 用直接凑全微分的方法. 通解为

(7)可化为全微分方程 形如P(x,y)dtx+Q(x,y)y=0 非全微分方程(≠ y ax 若(x,y)≠0连续可微函数,且可使方程 μ(x,y)P(x,y)dx+p(x,y)Q(x,y)y=0成为全 微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 上页

(7) 可化为全微分方程 ( ). x Q y P      非全微分方程 形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 若( x, y)  0连续可微函数，且可使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称(x, y)为方程的积分因子

公式法: 若 1 00 o ay ax )=∫(x)则(x) ∫(x)d =已 若 1 00 aP )=g(y)则m(y)=e (y)dy p ax a 观察法: 牛熟记常见函数的全微分表达式,通过观察 直接找出积分因子 上页

公式法: ( ) 1 x Q y P Q   −   若 = f (x) ( ) ; ( )  = f x dx 则  x e ( ) 1 y P x Q P   −   若 = g( y) ( ) . ( )  = g y dy 则  y e 观察法: 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察 直接找出积分因子．

c常见的全微分表达式 2 x t y xd xdx ydy=d dr 2 xdy-ydr J xdv+ vdx d arctan d( in xy) xty xd+ ydy daIn(x+y2) tt y xdy-yar -( inx+y 2 x 可选用积分因子 x y 等 xty xx y x ty 王页下

常见的全微分表达式         + + = 2 2 2 x y xdx ydy d       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy       − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2 可选用积分因子 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y

生3可峰阶的高阶微分方程的解法 王()y0=f(x)型 解法接连积分n次,得通解 (2)y"=f(xy)型 工工工 特点不显含未知函数y 解法令y=P(x),y”=P, 代入原方程,得P′=f(x,P(x) 上页

3、可降阶的高阶微分方程的解法 解法 令 y = P(x), 特点 不显含未知函数 y. (2) y = f (x, y) (1) ( ) 型 ( ) y f x n = 接连积分n次，得通解． 型 解法 代入原方程, 得 P = f (x,P(x)). y = P