(y=f(,)型 中特点不显含自变量x 解法令y=P(x),y=P, dy 午代入原方程得P=f(,P 小y 4、线性微分方程解的结构 午(1)二阶齐次方程解的结构 形如y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 上页
令 y = P(x), 特点 不显含自变量x. (3) y = f ( y, y) 型 解法 代入原方程, 得 f ( y,P). dy dp P = , dy dp y = P ４、线性微分方程解的结构 （1） 二阶齐次方程解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)
出定理1如果函数y(x)与2(x)是方程(1)的两个 c解那末y=Cn1+C2n2也是(的解(C,C2是常 数) 定理2如果(x)与:()是方程(的两个线性 中无关的特解,那么y=C1+C22就是方程(1)的通 解 王(2)二阶非齐次线性方程的解的结构 王形如y"+P()y+(xy=f(x)(2) 上页
定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的通 解. （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2)
定理3设y是(2)的一个特解,Y是与(2)对应 出的齐次方程()的通解,那么y=Y+y是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解. 定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 午数之和如”+Px)y+Q(x)y=f(x)+f(x) 工工工 而y与y2分别是方程, y+P(x)y+o(x)y=f(r) y+P(x)y+e(x)y=f(x) 的特解,那么y+y2就是原方程的特解 上页
定 理 3 设 * y 是(2)的一个特解, Y 是 与(2)对 应 的齐次方程(1)的通解, 那 么 * y = Y + y 是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解. 定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y + Q x y = f x ( ) ( ) ( ) 2 y + P x y + Q x y = f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解
庄5、二阶常系数齐次线性方程解法 平形如y1+Py+…+Pny+Py=f(x) n阶常系数线性微分方程 y"+py+gy=0二阶常系数齐次线性方程 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 A解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法 上页
５、二阶常系数齐次线性方程解法 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y P y P y f x n n n n + + + − + = 形如 − n阶常系数线性微分方程 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法
y+py+ay=0 特征方程为r2+p+q=0 特征根的情况 通解的表达式 实根r1≠r2 =Ce+ce rx 实根n=P2 =(C1 x)e x +c2 根,2=a士y=e(C1c0+C2imB 上页
0 2 r + pr + q = y + py + qy = 0 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r r 实根 1 2 r = r 复根r1,2 = i r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 r x y C C x e 2 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) y e C1 x C2 x x = + 特征方程为