庄2、一阶微分方程的解法 上(1)可分离变量的微分方程 形如g(y)dy=f(x)d 分离变量法 解法g(y)d=∫f(x)t (2)齐次方程形如=∫( 解法作变量代换" 上页
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 2、一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u =
王()可化为齐次的方程 ax+by+c =f( dx a,x+b,y+CI 上当c=c1=时,齐次方程.否则为非齐次方程 解法令x=X+h, 工工工 y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数) 上页
( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． ， 令 y Y k x X h = + = + , （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．
(4)一阶线性微分方程 形如的 +P(x)y=o(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0, 上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y=Cc/n (使用分离变量法) 上页
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
非齐次微分方程的通解为 c y=ll2(xy P(x)de P(x)dx e dx +cle (常数变易法) (5)伯努利 Bernoul)方程 工工工 形如中 +P(x)y=Q(x)y"(n≠0,1) dx As当=0时,方程为线性微分方程 牛当n≠0时,方程为非线性微分方程 上页
非齐次微分方程的通解为 + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程
解法需经过变量代换化为线性微分方程 令z=y-n, y=4 「(1-n)P(x)d Q(x)(1-n)e (1-n)P(x)idx dx+C) (6)全微分方程 王形如P(x,)+Q(x,y)=0 其中d(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y) 上页
解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x n e dx C y z n P x d x n P x d x n P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 形如 (6) 全微分方程