上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同一类型的数学问题：求函数f在点x处的增量△y=f(x)-f(xo)与自变量增量△x=x-x,之比的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平均变化率，增量比的极限（如果存在）称为f在点xo处关于x的瞬时变化率（或简称变化率）后页返回前页
上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率). 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo之比 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量
定义1设函数 y=f(x)在点 x的某邻域内有定义，如果极限f(x)-f(xo)(3)limx-→xox-Xo存在，则称函数f 在点x,可导，该极限称为f 在xo的导数，记作 f'(x).如果令 Ax=x - xo, Ay= f(xo +Ax) -f(xo), 导数就以写成f(x + 4x)-f(x,)4y=limf'(x,)= lim(4)4x4x→0 △x 4x→0后页返回前页
定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim (3) x x f x f x x x 存在, 则称函数 f 在点 x0可导, 该极限称为 f 在 如果令 Dx = x – x0 , Dy = f (x0 +Dx) –f (x0), 导数 就 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . (4) x x y f x x f x f x D x D x D D D D x0 的导数，记作 ( ). 0 f x 可以写成
这说明导数是函数增量△y与自变量增量△x之的极限,即 F(s）就是()关于x在x,处的变化1率.如果(3)或（4)式的极限不存在,则称f(x)在点xo不可导例1 求函数 v=x3在 x=1处的导数，并求该曲线在点P(1,1)的切线方程解 因为 Ay= f(1+△x)-f(1)=(1+Ar)" -1= 34r +34r2 +Ar3返回前页后页
这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之 比 例1 求函数 y = x 3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 (1 ) (1) (1 ) 1 3 因为 Dy f Dx f Dx 3 3 , 2 3 Dx Dx Dx 的极限,即 f (x 0 ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0处的变化 点 x0 不可导. 率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 f (x) 在
所以Ay= lim(3+3Ax+ Ar*)=3.f'(1) = limAx-→0 Ax Ax-0由此可知曲线 y=x3在点 P(1,1)的切线斜率为k = f'(1)=3,于是所求切线方程为 y-1=3(x-1)即y = 3x - 2.后页返回前页
(1) lim lim ( 3 3 ) 3 . 2 0 0 D D D D D D x x x y f x x 由此可知曲线 y x 3在点 P(1, 1) 的切线斜率为 k f (1) 3, 所以 于是所求切线方程为 y 1 3( x 1), 即 y 3x 2
例2 常量函数 f(x)=c在任何一点 x 的导数都为零.这是因为 △y=0，所以 f'(x)=0例3 证明函数 f(x)=|x/ 在 x=0 处不可导证因为1, x>0,f(x)- f(0)x-0-1, x<0,当x→0 时它的极限不存在，所以f(x)在 x=0处不可导后页返回前页
例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为 例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为 ( ) (0) 1, 0, 0 1, 0, f x f x x x 当 x 0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0 零. 这是因为 Dy 0，所以 f (x) 0. 处不可导