赋范空间 it Just bec cauise of layout 设Ca,b是[a,b上实值或复值连续函数的全体,在第一讲中我们已知此 空间是线性空间,对f∈C[a,b]定义 f=up{(x):x∈[ab]} 可以证明,/是范数,CIab是赋范空间。 上界 设AcR,如果彐c∈R,使得a∈A,有a≤c,则称c是4的一个 上界,并称集合A有上界或上有界 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-11
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-11 赋范空间 – C[a, b] : 设C[a, b]是[a, b]上实值或复值连续函数的全体，在第一讲中我们已知此 空间是线性空间，对 定义 可以证明， 是范数，C[a, b]是赋范空间。 • 上界 设 ，如果 ，使得 ，有 ，则称c是A的一个 上界，并称集合A有上界或上有界 f = sup{ f (x) : x[a,b]} f C[a,b] f A R cR a A a c
赋范空间 上确界( Supremum) 如果A有上界,且A的上界中有一个最小者M,则称M是A的上确界 或最小上界,记作M=supA,上确界要满足两个条件 1M是A的一个上界 2对A的任一上界c,有M≤c 由此,如果A有上确界,则必是唯一的 如果A无上界,可记作SupA= 同样可定义下界、下确界( Infimum)m= inf A。下确界也是唯 一的。如果不存在下确界,记作infA=-∞ 现在证明线性空间cab中定义的/是范数 f1,f2∈Ca,b]a∈F vx∈[a,b],由上界的定义 If+f2=suif(x)+f2(x) xE[a, b1=max f(x)+f2() 由绝对值不等式 (x)+f(x)≤(x)+1f(x) 萄m大信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-12
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-12 赋范空间 • 上确界（Suprmum） 如果A有上界，且A的上界中有一个最小者M，则称M是A的上确界 或最小上界，记作 ，上确界要满足两个条件 1 M是A的一个上界 2 对A的任一上界c，有 由此，如果A有上确界，则必是唯一的 如果A无上界，可记作 同样可定义下界、下确界（Infimum） 。下确界也是唯 一的。如果不存在下确界，记作 现在证明线性空间C[a, b]中定义的 是范数 ， ，由上界的定义 由绝对值不等式 M = sup A f , [ , ] f 1 f 2 C a b F m = inf A inf A = − sup A = M c sup{ ( ) ( ) : [ , ]} ( ) ( ) 1 2 1 2 max 1 2 f f f x f x x a b f x f x a x b + = + = + x[a,b] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + f x f x + f x