内积空间 内积空间举例 1.n维欧氏ucld空间R": x=(5122,…,n) (x,y)=∑15 y=(7,2…1n) 2.n维复欧氏(Eucd空间m: (xy)=∑5 3.实空间 此空间中的点为无穷维向量,每个向量的所有坐标是平方可 和的:>2 S<+0 (x,y)=∑57 x=(5122,…,52…)y=(n,n2,…,n,…)z=(1,y2,…,〃1) H不等式:∑m(∑k1)∑m")p>1,n+=1 取p=2,(x,y)收敛一(x,x):XxX→F 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 内积空间 – 内积空间举例： 1. n维欧氏(Euclid)空间R n： 2. n维复欧氏(Euclid)空间C n： 3. 实l 2空间： 此空间中的点为无穷维向量，每个向量的所有坐标是平方可 和的： 取p = 2, 收敛 = = n i i i x y 1 , = = n i i i x y 1 , ( , , , ) 1 2 n x = ( , , , ) 1 2 n y = ( , , , , ) x = 1 2 i + =1 2 i i = = 1 , i i i x y ( , , , , ) y = 1 2 i ( , , , , ) z = 1 2 i p q q i i p i i i i i 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 = = = 1 1 1 1, + = p q p x, y x, x : X X → F Hölder不等式：
内积空间 ax+角,2)=∑1(a5+n)1=∑(al51+Bn,) ∑5"+B215=a(x,)+B(y,=) Cauchy- Schwarz inequality(柯西许瓦兹不等式) 设():XxX→F是X上的内积,则yxy∈X xy)≤(x,x)(y,y 证明:当x,)其中之一为零向量时,等式成立。现设y≠0,a∈F有 0≤(x-∞y,x-y)=(x,x-ay)-a(yx-ay (x, x-a(x,y -a(,x)=a(y,y) 令 DX <(X,X DX y, y,y y,y y,y y,y 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 内积空间 – Cauchy-Schwarz inequality (柯西-许瓦兹不等式) 设 是X上的内积，则 证明：当x, y其中之一为零向量时，等式成立。现设 ， 有 令 ， x z y z x y z i i i i i i i i i i i i i i i , , , ( ) ( ) 1 1 1 1 = + = + + = + = + = = = = • , • : X X → F x, y X x, y x, x y, y 2 , , ( , , ) 0 , , , x x x y y x y y x y x y x x y y x y = − − − − − = − − − y 0 F , ) , , ( , , , , , , 0 , y y y y x y y x y y x y x y y y x y x x − − − y y x y , , =
赋范空间 0≤(x, x,yrx,y)x,yrx,y)(x,y)(x,y v,y(y,y (x,y)(x,y) DX =(x,x X.x xy)≤(x,x)(y,y y,y 向量范数(Norm) 设X是数域F上的线性空间,定义在X上的实值函数:X→R如果 满足以下条件 三角形不等式‖x+y≤x+ 绝对齐性 正定性 ≥0,且=0 0 则称此实值函数是X上的范数(Norm)。带有给定范数的线性空间 (X,|l)称为范空间 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 赋范空间 – 向量范数（Norm） 设X是数域F上的线性空间，定义在X上的实值函数 如果 满足以下条件 • 三角形不等式 • 绝对齐性 • 正定性 ，且 则称此实值函数是X上的范数（Norm）。带有给定范数的线性空间 称为赋范空间。 y y x y x x y y x y x y x x y y y y x y y y x y y y x y x y y y x y x y x x , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 , 2 = − = − − − + (X, • ) • : X → R x + y x + y x = x x 0 x = 0 x = 0 x, y x, x y, y 2
赋范空间 定义了范数,即可定义度量d(x,y)Ax-川x,y∈X 有了度量,即可定义极限、进而定义收敛、连续性等。有了极限和收敛 即可定义 Cauchy列,定义了 Cauchy列,即可判断空间的完备性。 赋范空间举例n维复 Euclid空间C 在C的内积定义 (x,y)=∑57 x,xx,x 的基础上,定义 对欧氏空间,内积的模 2=(x)3=(∑k)方不大于长度平方之积 易验证,此范数满足范数的3个条件,称为向量x的2-范数或长度。 x,y∈X|x+y12=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+( c2+2Re(x,y)+|y2 由 Cauchy- schwarz.不等式 Re(x,y)sx,yy=((x,Xx,v)2=lily 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 赋范空间 – 定义了范数，即可定义度量 有了度量，即可定义极限、进而定义收敛、连续性等。有了极限和收敛 即可定义Cauchy列，定义了Cauchy列，即可判断空间的完备性。 – 赋范空间举例——n维复Euclid空间Cn 在Cn的内积定义 的基础上，定义 易验证，此范数满足范数的3个条件，称为向量x的2-范数或长度。 由Cauchy-schwarz不等式 d(x, y) x − y x, y X 2 1 2 1 , ( ) 2 2 =1 = = n i i x x x = = n i i i x y 1 , 2 2 2 2 2 2 2Re , , , , , , x x y y x y x y x y x x x y y x y y = + + + = + + = + + + 2 2 2 1 Re x, y x, y = ( x, y x, y ) = x y x, y x, x x, x 2 对欧氏空间, 内积的模 方不大于长度平方之积 x, y X
赋范空间 x+y2=|×2+2Re(x,y)+p1≤12+215+2+y2 (1x2+|y ≤(a,ax)2=(ac(x,x )3=(a2(x,x) ax,x)2=all n维复 Euclid空间C Vx∈ln,定义 则是范数,(C",)是带有范数的赋范空间1范数 Vx,y∈X,由绝对值不等式,条件很容易验证 x+y=∑+nl∑(引+m) 同样可验证条件2、3 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 赋范空间 – n维复Euclid空间Cn ，定义 则 是范数， 是带有范数 的赋范空间 ，由绝对值不等式，条件1很容易验证： 同样可验证条件2、3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2Re , 2 x y x y x x y y x x y y = + + = + + + + 2 2 2 x + y x + y 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 , , ( , ) ( , ) x x x x x x x x x x = = = p xl = = n i i x 1 1 1 x ( , ) 1 C x n 1 x 1-范数 x, y X 1 1 1 1 1 1 1 ( ) x y x y n i i n i i n i i i n i i i = + = + + = + + = = = =