●●●● ●●●● ●●0● ●● ●● 第一讲
第一讲
●●●●● ●●●● ●●0● ●● ●● 第一章绪论 51.1微分方程模型
第一章 绪论 §1.1 微分方程模型
●●● 例1求平面上过点(13)且每点切线斜率为横坐标倍的曲线程 ●●0● 解设所求的曲线方程为y=f(x)由导数的几何意义应有 f"(x)=2x, f(x)=2xdx+C=x+C 又由条件:曲线过(1,3),即 f(1)=3, 于是得C=2.故所求的曲线方程为 2 x2+2
例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程. 解: 设所求的曲线方程为 y = f (x). 由导数的几何意义, 应有 t f '(x) = 2x, 即 ( ) 2 . 2 f x = xdx +C = x +C 又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) = 3, 于是得 C = 2. 故所求的曲线方程为: 2. 2 y = x +
●●●● ●●●● ●●0● ●● ●● 例2物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻t=0时测得它的温度为 l0=150°C,10分钟后测量得温度为=100C.试决定此物 体的温度和时间t的关系并计算20分钟后物体的温度.这 里假设空气的温度保持在w=24°C
例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为 150 , u0 C = 10分钟后测量得温度为 u1 100 C. 试决定此物 = 体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在 u t u 24 C. a =
解: Newton冷却定律: ●●●● ●●●● ●●0● 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 ●● ●● 2.在一定的温度范围内个物体的温度变化速度与这 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比 设物体在时刻t的温度为u(1).根据导数的物理意义,则 温度的变化速度为 au 由 Newton冷却定律,得到 au -k(-n 其中k>0为比例系数此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型 注意此式子并不是直接给出l和t之间的函数关系而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式如何由此式 子求得W与t之间的关系式,以后再介绍
解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 t u(t). . dt du ( ), u ua k dt du = − − 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. k 0 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式 子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. u t u t