2.3曲面的第二基本形式 2.3.6曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 一、主曲率 二、欧拉公式 三、主曲率的一个命题 四、主曲率的一个计算公式 五、高斯曲率和平均曲率 六、极小曲面
2.3 曲面的第二基本形式 2.3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 一、主曲率 二、欧拉公式 三、主曲率的一个命题 四、主曲率的一个计算公式 五、高斯曲率和平均曲率 六、极小曲面
一、主曲率 1.定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率， 也就是沿曲率线方向的法曲率，这是因为曲面在一点处的主方向 就是过此点的曲率线的方向 2.由定义，主方向判别定理可写为： 对于曲率线有d而=-k,d而，k,为主曲率，反之也成立 或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是i=-k,d,k,是主曲率
对于曲率线有 为主曲率, 反之也成立. 或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是 是主曲率. n n dn k dr, k = − n n dn k dr, k = − 一、主曲率 2.由定义，主方向判别定理可写为： 1.定义 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率， 也就是沿曲率线方向的法曲率，这是因为曲面在一点处的主方向 就是过此点的曲率线的方向
二、欧拉公式 开始研究曲面上一点（非脐点），法曲率随方向而变化的规律 以及要证明主曲率是法曲率的最大值和最小值 1.在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0,这时对于 曲面上任一方向(d),它的法曲率公式变为 ⅡLd2+Ndw2 Kn Edu2+Gdv2 特别沿-曲线(d=O)的方向对应的主曲率为k= E 沿-曲线(d=0)的方向对应的主曲率为k=G
二、欧拉公式 开始研究曲面上一点(非脐点),法曲率随方向而变化的规律. 以及要证明主曲率是法曲率的最大值和最小值. 1. 在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0，这时对于 曲面上任一方向(d)，它的法曲率公式变为 2 2 2 2 II n Ldu Ndv Edu Gdv + = = + 特别 沿u-曲线(dv=0)的方向对应的主曲率为 1 , L k E = 沿v-曲线(du=0)的方向对应的主曲率为 2 . N k G =
2.设0为任意方向(d)=(d:dw)和w-曲线（δv=0)方向之间的夹角， 则 Eduδu+F(du6v+dvou)+Gdvδv cos0= Edu?+2Fdudy +Gdv2ESu2+2FSuv+GSv2 Eduδu (F=0,6v=0) √Edhu2+Gdw2VE6u2 c0s20=- Edu? dhu+Gdvz,sin'0=1-cos= Gdv2 Edu2+Gdv? Ldu2+Ndv2 E(Ldu2) G(Ndv2) Kn Edu2+Gdv? E(Edu2+Gdy2) G(Edu2+Gdv2) L Edu? N Gdv2 E Edu2+Gdy2 G Edu2+Gdv2 .K=K COs20+K2 sin20 这个公式称为欧拉(Euler)公式：
2. 设 为任意方向(d)=(du:dv)和u-曲线( ) v = 0 方向之间的夹角， 2 2 2 2 ( ) cos 2 2 Edu u F du v dv u Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + 2 2 2 2 cos , Edu Edu Gdv = + 2 2 n 2 2 Ldu Ndv Edu Gdv + = + 2 2 2 1 n = cos + sin 这个公式称为欧拉(Euler)公式. 则 2 2 2 Edu u Edu Gdv E u = + ( 0, 0) F v = = 2 2 2 2 2 sin 1 cos Gdv Edu Gdv = − = + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E Ldu G Ndv E Edu Gdv G Edu Gdv = + + + 2 2 2 2 2 2 L Edu N Gdv E Edu Gdv G Edu Gdv = + + +
K =K COs20+K,sin20 3.两点说明 1)欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向()的法曲率 就可以用(d)和-曲线的夹角确定 2)欧拉公式在非脐点成立，但在脐点处也成立，此时 k= =k .K=K cos20+k sin20=k=k2 即任意方向的法曲率都相等
即任意方向的法曲率都相等. 3. 两点说明 2）欧拉公式在非脐点成立，但在脐点处也成立，此时 1 2 L N k k E G = = = 1 2 2 1 2 1 cos sin k k n = + = = 1）欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向(d)的法曲率 就可以用(d)和u-曲线的夹角确定. 2 2 1 2 cos sin n = +